Краева́я зада́ча для уравне́ния с ча́стными произво́дными, задача определения в некоторой области $D$ переменных $x=(x_1,\dots,x_n)$ решения $u(x)$ уравнения$$\tag{1} (Lu)(x)=f(x),\quad x\in D,$$удовлетворяющего на границе $S$ этой области (или её части) определённым краевым условиям$$\tag{2} (Bu)(y)=\varphi(y),\quad y\in S.$$Как правило, краевые условия связывают граничные значения решения с его производными до некоторого порядка, т. е. $B$ является дифференциальным оператором. Однако встречаются и краевые условия других типов.

Для данного дифференциального уравнения целесообразность рассмотрения той или иной краевой задачи часто определяется понятием её корректной постановки. Именно, краевая задача корректно поставлена, если её решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных этой задачи. Различные типы дифференциальных уравнений требуют различных корректно поставленных краевых задач, и обратно, корректные постановки краевой задачи иногда могут служить основой для классификации типов дифференциальных уравнений.

Краевая задача называется линейной, если операторы $L$ и $B$ линейны, и однородной, если $f$ и $\varphi$ в $(1)$, $(2)$ равны нулю. Линейная краевая задача называется нётеровой, если: а) однородная задача имеет конечное число $k$ линейно независимых решений; б) неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда $f$ и $\varphi$ удовлетворяют $l$ линейно независимым условиям типа условий ортогональности; в) при условии однозначной разрешимости решение непрерывно зависит от $f$ и $\varphi$.

Если $k=l$, то задача называется фредгольмовой. Разность $k-l$ определяет индекс задачи.

Широкий класс краевых задач для линейных уравнений с частными производными $2$-го порядка$$\tag{3} Lu=\sum_{i,j=0}^n a_{ij}(x)\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=0}^n b_i(x)\frac{\partial u}{\partial x_i}+c(x)u=f(x)$$охватывается задачей Пуанкаре. В этой задаче носителем краевых условий является вся граница, которая предполагается $(n-1)$-мерным многообразием, а граничный оператор $B$ в $(2)$ имеет вид$$\tag{4} (Bu)(y)=\sum_{i=1}^n p_i(y)\frac{\partial u}{\partial x_i}+p(y)u=\varphi(x),\quad y\in S.$$Задача Пуанкаре хорошо исследована в ограниченной области $D$ с достаточно гладкой границей, при условии равномерной эллиптичности оператора $L$.

В предположении достаточной гладкости коэффициентов операторов $L$ и $B$ в $(3)$, $(4)$ и границы области $D$ задача Пуанкаре нётерова, если $n=2$, $\sum p_i^2>0$, и фредгольмова, если $n>2$, $\sum p_i^2>0$ и вектор $\boldsymbol{p}=(p_1,\dots,p_n)$ некасателен к $S$. При исследовании задачи Пуанкаре в двумерном случае широкое применение находят методы теории функций комплексного переменного (см. Краевая задача; методы комплексного переменного).

Для общего эллиптического уравнения порядка $2m$$$\tag{5} Lu=\sum_{|\alpha|\leqslant 2m}a_\alpha(x)\frac{\partial^\alpha u}{\partial x^\alpha}= f(x),\quad x\in D,$$краевые условия могут задаваться с помощью линейных дифференциальных операторов$$\tag{6} B_j u =\sum_{|\alpha|\leqslant m_j} b_{j\alpha}(y)\frac{\partial^\alpha u}{\partial x^\alpha}=\varphi_j(y),\quad y\in S, \quad 1\leqslant j \leqslant m,$$порядка $m_j<2m$ с коэффициентами, определёнными на границе $S$ области $D.$ Если операторы $L$ и $B_j$ удовлетворяют так называемому условию дополнительности, то производные порядка $2m$ функции $u$, удовлетворяющей граничным условиям, можно оценить (в некоторой норме) через норму $f$ в $(5)$ и подходящие нормы граничных функций $\varphi_j$ в $(6)$. Краевые задачи такого типа называются коэрцитивными краевыми задачами.

Другой тип краевых задач представляют так называемые смешанные задачи, в которых на смежных участках границы задаются различные краевые условия.

Для эллиптических уравнений характерно то, что краевые условия задаются на всей границе. Однако в полной мере это относится только к равномерно эллиптическим уравнениям. Если оператор $L$ в $(3)$ эллиптичен внутри области и на части $S_0\subseteq S$ параболически вырождается, то в зависимости от характера вырождения участок $S_0$ от задания краевых условий может освобождаться. См. также Краевую задачу для эллиптического уравнения.

Если уравнение $(3)$ не принадлежит к эллиптическому типу, то часть границы от задания краевых условий, как правило, освобождается. Например, для простейшего уравнения параболического типа – уравнения теплопроводности$$Lu=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}=0$$задача Дирихле в области $D$, ограниченной прямыми $x=\pm1$, $t=\pm1$, состоит в задании граничных значений функции $u$ на отрезках $\{t=-1,-1\leqslant x\leqslant+1\}$ и $\{x=\pm1,-1\leqslant t\leqslant+1\}$.

Специальным образом ставятся краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа.

Важное место занимают краевые задачи в теории аналитических функций. Пусть $S$ – кусочно гладкая линия на плоскости, т. е. объединение конечного числа простых ориентируемых дуг. Задача линейного сопряжения заключается в определении аналитической вне $S$ функции $\varphi(z)$, имеющей предельные значения $\varphi^\pm(t)$, $t\in S$, с обеих сторон $S$ и удовлетворяющей краевому условию$$\varphi^+(t)-G(t)\varphi^-(t)=g(t),\quad t\in S,$$где $G(t)$ и $g(t)$ – заданные функции. С помощью представлений аналитических функций интегралами типа Коши при некоторых предположениях относительно функций $G$, $g$ и линии $S$ решения этой задачи выписываются в явном виде. См. статью Граничные задачи теории аналитических функций.

Для изучения краевых задач предложен ряд методов. Альтернирующий метод Шварца и связанные с ними метод выметания Пуанкаре и метод Перрона опираются на применение принципа максимума. Решение краевой задачи с помощью интегральных уравнений основано на различных интегральных представлениях решений. Исследование краевой задачи с помощью априорных оценок относится к функциональным методам. Широко применяется теория обобщённых функций. В практических приложениях значительное распространение получили различные конечно-разностные методы.