Космологи́ческое расстоя́ние, расстояние до астрономического объекта $l_c,$ определяемое как произведение лагранжева расстояния $r_e$ до этого объекта на масштабный фактор в настоящий момент времени $a(t_0)\!:$

$\displaystyle l_c=a(t_0)\,r_e.$

Лагранжево расстояние $r_e$ (расстояние в лагранжевых координатах) вычисляется следующим образом. Луч света в расширяющейся Вселенной движется по геодезической линии (в случае евклидовой Вселенной это прямая линия) согласно уравнению теории относительности

$$ds=0. \tag{1}$$Здесь $ds\ -$ определяемый в теории относительности четырёхмерный интервал, квадрат которого остаётся постоянным при изменении системы отсчёта. Для случая однородного и изотропного пространства-времени (метрика Фридмана)

$$\displaystyle ds^2=c^2dt^2-a^2(t)\!\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\!{\theta}\,d\varphi^2\right)\right]\!. \tag{2}$$Здесь $c\ -$ скорость света в вакууме; $a(t)\ -$ масштабный фактор, имеющий размерность длины; $r,\,\theta,\, \varphi\ -$ пространственные координаты в сферической системе координат (причём $r\ -$ безразмерная координата); $t\ -$ время; $k\ -$ постоянная кривизны (параметр, характеризующий пространство постоянной кривизны).

Рис. 1. Зависимость космологического расстояния (в гигапарсеках) от красного смещения.Рис. 1. Зависимость космологического расстояния (в гигапарсеках) от красного смещения.Если предположить (без ограничения общности), что наблюдатель находится в центре сферической системы координат, а луч света движется вдоль радиальной координаты от источника к наблюдателю, то изменения угловых переменных равны нулю. Если постоянная кривизны $k=0$ (что соответствует современным наблюдательным данным), то из формул (1) и (2) следует

$cdt=-\,a(t)\,dr.$

При этом выбран знак «минус», поскольку при увеличении времени расстояние от луча света до наблюдателя уменьшается. Путём интегрирования этой формулы получается:

$\displaystyle \int\limits_{t_e}^{t_0}{\frac{dt}{a(t)}}=\frac{r_e-r_0}{c}.$

Здесь $r_0=0\ -$ положение наблюдателя, $r_e\ -$ лагранжево расстояние до источника света, $t_e$ и $t_0\ -$ моменты времени, когда свет был испущен источником и принят наблюдателем соответственно. Таким образом, лагранжево расстояние определяется масштабным фактором. Последний, в свою очередь, определяется современными значениями космологических параметров. Масштабный фактор связан с космологическим красным смещением $z$ соотношением

$\displaystyle a(t)=\frac{a_0}{1+z},$

где $a_0\equiv a(t_0)\ -$ современное значение масштабного фактора (при $z\!=\!0$).

Из первого уравнения Фридмана определяется параметр Хаббла

$\displaystyle H^2\equiv\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}=H_0^2\left[\Omega_{m0}\!\left(1+z\right)^3+\Omega_{q0}+\Omega_{r0}\!\left(1+z\right)^4\right]\!,$

и космологическое расстояние $l_c$ вычисляется по формуле

$\displaystyle l_c=\frac{c}{H_0}\int\limits_{0}^{z}{\frac{d\zeta}{\sqrt{\Omega_{m0}\!\left(1+\zeta\right)^3+\Omega_{q0}+\Omega_{r0}\!\left(1+\zeta\right)^4}}}.$

Здесь $H_0\ -$ современное значение параметра Хаббла; $Ω_{m0},$ $Ω_{q0},$ $Ω_{r0}\ -$ безразмерные параметры плотности нерелятивистской материи (включающей обычное барионное вещество и холодную тёмную материю), тёмной энергии и релятивистской материи (излучения) соответственно, получаемые в рамках стандартной космологической модели; $ζ\ -$ переменная интегрирования. Космологическое расстояние является монотонно возрастающей функцией красного смещения, которая при $z\!>\!40$ выходит на почти постоянное значение.Рис. 2. Зависимость болометрического расстояния (синяя линия), космологического расстояния (красная линия) и расстояния по угловому размеру (зелёная линия) от красного смещения. Значения расстояний приведены в гигапарсеках.Рис. 2. Зависимость болометрического расстояния (синяя линия), космологического расстояния (красная линия) и расстояния по угловому размеру (зелёная линия) от красного смещения. Значения расстояний приведены в гигапарсеках. На рис. 1 приведён график зависимости космологического расстояния $l_c$ от красного смещения $z,$ построенный при следующих значениях космологических параметров: $Ω_{m0}\!=\!0,\!308,$ $Ω_{q0}\!=\!0,\!692,$ $Ω_{r0}\!=\!9\!\cdot\!10^{-5},$ $H_0=67,\!81\ км/(с\!\cdot\!Мпк),$ $c/H_0=4,\!48\ Гпк.$

По величине космологического расстояния вычисляются другие два вида расстояния, используемые в космологии, – болометрическое расстояние $l_b$ и расстояние по угловому размеру $l_a.$ Связь между ними задаётся соотношением:

$\displaystyle l_c=\sqrt{l_al_b}.$

На рис. 2 приведены графики зависимости этих трёх видов расстояния от красного смещения $z$ при тех же значениях космологических параметров, что и на рис. 1.