Простра́нство постоя́нной кривизны́, риманово пространство $M$, у которого секционная кривизна $K(\sigma)$ по всем двумерным направлениям $\sigma$ постоянна: если $K(\sigma)=k$, то говорят, что пространство постоянной кривизны имеет кривизну $k$. Согласно теореме Шура, риманово пространство $M^n$, $n>2$, есть пространство постоянной кривизны, если для любой точки $p\in M$ секционная кривизна $K(\sigma)$ по направлению любых двумерных подпространств $\sigma$ касательного пространства $T_pM$ одна и та же. Тензор кривизны пространства постоянной кривизны выражается через кривизну $k$ и метрический тензор $g_{ij}$ по формуле$$R_{jkl}^i=k(\delta_k^ig_{jl}-\delta_l^ig_{jk}).$$Пространство постоянной кривизны является локально симметрическим пространством.

С точностью до изометрии существует единственное полное односвязное $n$-мерное риманово пространство $S^n(k)$ постоянной кривизны $k$. При $k=0$ это евклидово пространство, при $k > 0$ – сфера радиуса $1/\sqrt{k\,}$, при $k < 0$ – пространство Лобачевского.

Пространства $S^n(k)$ являются максимально однородными пространствами, т. е. обладают группой движений максимально возможной размерности $\frac{n(n+1)}{2}.$ Все отличные от $S^n(k)$ максимально однородные римановы пространства исчерпываются проективными (иначе, эллиптическими) пространствами, которые получаются из сфер отождествлением диаметрально противоположных точек.

Полные, но неодносвязные пространства постоянной кривизны называются пространственными формами. Они получаются из односвязного пространства $S^n(k)$ факторизацией по свободно действующей дискретной группе движений пространства $S^n(k)$. Известны все пространственные формы положительной кривизны. Проблема классификации пространственных форм нулевой и отрицательной кривизны до конца не решена.

Пространства постоянной кривизны выделяются среди всех римановых пространств одним из следующих характеристических свойств:

1) пространства постоянной кривизны удовлетворяют аксиоме плоскости, т. е. любое геодезическое в точке подмногообразие в пространстве постоянной кривизны является вполне геодезическим;

2) пространство постоянной кривизны является локально проективно плоским пространством, т. е. допускает локально проективные отображения в евклидово пространство.

Понятие пространства постоянной кривизны не обладает свойством корректности, т. е. пространство с мало меняющимися секционными кривизнами может сильно отличаться от пространств постоянной кривизны. Однако некоторые общие свойства пространств постоянной кривизны, например топологическое строение, при этом сохраняются (теорема Адамара – Картана, теорема о сфере и др., см. Бураго. 1977). Совершенно иначе обстоит дело для псевдоримановых пространств постоянной кривизны – любое псевдориманово пространство знакоопределённой секционной кривизны, размерность которого больше двух, является пространством постоянной кривизны.

Пространства постоянной кривизны являются также локально конформно евклидовыми, т. е. допускают локальные конформные отображения в евклидово пространство.