Расстоя́ние по углово́му разме́ру (угловое расстояние, угломерное расстояние), расстояние до астрономического объекта $l_a,$ которое определяется как отношение физического размера наблюдаемого объекта $l_{физ}$ к углу $\Delta\varphi,$ под которым он наблюдается (т. е. его угловому размеру):

$\displaystyle l_a=\frac{l_{физ}}{\Delta\varphi}.$

Рис. 1. Зависимость расстояния по угловому размеру (в гигапарсеках) от красного смещения.Рис. 1. Зависимость расстояния по угловому размеру (в гигапарсеках) от красного смещения.Физический размер объекта равен $l_{физ}=a(t_e)\,r_e\,Δφ,$ где $t_e\ -$ момент времени, когда излучение было испущено объектом, $a(t_e)\ -$ масштабный фактор в момент излучения, $r_e\ -$ лагранжева координата излучающего объекта. Угловое расстояние можно выразить через космологическое расстояние как

$\displaystyle l_a=a\left(t_e\right)r_e=\frac{a\left(t_e\right)}{a\left(t_0\right)}\,a\left(t_0\right)r_e=\frac{a\left(t_e\right)}{a\left(t_0\right)}\,l_c,$

где $t_0\ -$ момент наблюдения, $a(t_0)\ -$ масштабный фактор в момент наблюдения, $l_c=a\left(t_0\right)r_e\ -$ космологическое расстояние. Используя определение масштабного фактора через космологическое красное смещение $z,$ получаем формулу для определения углового расстояния:

$\displaystyle l_a=\frac{l_c}{1+z}.$

Космологическое расстояние $l_c$ вычисляется по формуле

$\displaystyle l_c=\frac{c}{H_0}\int\limits_{0}^{z}{\frac{d\zeta}{\sqrt{\Omega_{m0}\left(1+\zeta\right)^3+\Omega_{q0}+\Omega_{r0}\left(1+\zeta\right)^4}}}.$

Здесь $c\ -$ скорость света в вакууме; $H_0\ -$ современное значение параметра Хаббла; $\Omega_{m0},$ $\Omega_{q0},$ $\Omega_{r0}\ -$ безразмерные параметры плотности нерелятивистской материи (включающей обычное барионное вещество и холодную тёмную материю), тёмной энергии и релятивистской материи (излучения) соответственно, получаемые в рамках cтандартной космологической модели; $ζ\ -$ переменная интегрирования.

На рис. 1 приведён график зависимости расстояния по угловому размеру $l_a$ от красного смещения $z,$ построенный при следующих значениях космологических параметров: $Ω_{m0}\!=\!0,\!308,$ $Ω_{q0}\!=\!0,\!692,$ $Ω_{r0}\!=\!9\!\cdot\!10^{-5},$ параметр Хаббла $H_0=67,\!81\ км/(с\!\cdot\!Мпк),$ $c/H_0=4,\!48\ Гпк$ (где $c\ -$ скорость света в вакууме).

Рис. 2. Зависимость болометрического расстояния (синяя линия), космологического расстояния (красная линия) и расстояния по угловому размеру (зелёная линия) от красного смещения. Значения расстояний приведены в гигапарсеках.Рис. 2. Зависимость болометрического расстояния (синяя линия), космологического расстояния (красная линия) и расстояния по угловому размеру (зелёная линия) от красного смещения. Значения расстояний приведены в гигапарсеках.Расстояние по угловому размеру, в отличие от монотонно растущих с увеличением красного смещения $z$ космологического и болометрического расстояний, обладает максимумом. Положение максимума определяется величинами космологических параметров и, согласно современным наблюдательным данным, соответствует $z\approx1,\!588$ (рис. 1). Таким образом, во Вселенной космические объекты с красным смещением 1,588 имеют максимальное угловое расстояние $l_a\approx1,\!817\ Гпк.$

Связь между расстоянием по угловому размеру $l_a,$ болометрическим расстоянием $l_b$ и космологическим расстоянием $l_c$ задаётся соотношением:

$\displaystyle l_c=\sqrt{l_al_b}.$

На рис. 2 приведены графики зависимости этих трёх видов расстояния от красного смещения $z$ при тех же значениях космологических параметров, что и на рис. 1.