Космологическая модель Фридмана

Космологи́ческая моде́ль Фри́дмана, теоретическая модель, описывающая глобальную эволюцию Вселенной на основе решения уравнений общей теории относительности (ОТО) для случая однородного и изотропного распределения плотности, температуры и давления вещества.

Модель была создана в 1922–1924 гг. в работах А. А. Фридмана. Первая статья «О кривизне пространства» была опубликована в журнале «Zeitschrift für Physik» в 1922 г. Основной вывод этой работы заключался в том, что уравнения ОТО для случая изотропного и однородного распределения плотности, температуры и давления вещества имеют только нестационарные решения. Последнее означает, что Вселенная с такими свойствами должна либо расширяться, либо сжиматься и должна иметь начало. Модель Фридмана получила первое наблюдательное подтверждение в 1929 г., когда на основе измеренных расстояний до галактик и их красных смещений было открыто расширение Вселенной в соответствии с законом Хаббла.

Наблюдаемые на масштабах свыше 100 Мпк однородность и изотропия распределения материи во Вселенной соответствуют решению уравнений ОТО с максимально симметричной метрикой пространства-времени. В общем случае такая метрика носит название метрики Фридмана:

$\displaystyle ds^2=c^2dt^2-a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2{\theta}d\varphi^2\right)\right].$Здесь $ds$ – четырёхмерный интервал пространства-времени, имеющий размерность длины; $c$ – скорость света в вакууме; $a(t)$ – масштабный фактор, имеющий размерность длины; $r,\;θ,\; φ$ – пространственные координаты в сферической системе координат (причём $r$ – безразмерная координата); $t$ – время. Параметр кривизны (или постоянная кривизны) $k$ принимает только дискретные значения +1, –1 или 0, что соответствует закрытой, открытой или плоской (евклидовой) геометрии трёхмерного пространства (рис. 1).

Рис. 1. Три типа однородных изотропных пространств, соответствующие разным значениям параметра кривизны.В рамках модели Фридмана материя во Вселенной аппроксимируется однородной идеальной жидкостью в сопутствующей системе отсчёта с уравнением состояния $p(\rho)=w\rho c^2$, где $\rho$ – плотность, $p$ – давление материи, $c$ – скорость света в вакууме, $w$ – коэффициент пропорциональности, который имеет разные значения для разных типов материи, заполняющих Вселенную. Например, для обычного вещества и релятивистской плазмы этот параметр принимает значения $w_m=0$ и $w_r=1/3$ соответственно. В случае тёмной энергии уравнение состояния выглядит следующим образом:

$p_q=w_q \rho_qc^2.$Здесь $p_q$ – давление тёмной энергии, $\rho_q$ – плотность тёмной энергии, $w_q$ – коэффициент пропорциональности, значение которого, согласно современным наблюдательным данным, заключено в диапазоне $-1,\!06≤w_q≤-1,\!0$. Поскольку природа тёмной энергии неизвестна, коэффициент $w_q$ выделяют в качестве отдельного глобального космологического параметра, называемого параметром уравнения состояния тёмной энергии. Если тёмная энергия описывается космологической постоянной (Λ-членом), то $w_q\!=\!-1$.

В основе космологической модели Фридмана лежат три уравнения Фридмана, которые получаются из уравнений Эйнштейна в предположении однородности и изотропии пространства-времени. Уравнения Фридмана показывают зависимость масштабного фактора $a(t)$ от времени и от параметров космологической модели. Два основных параметра – это параметр кривизны $k$, определяющий геометрию трёхмерного пространства, и космологическая постоянная $Λ$, являющаяся фундаментальной постоянной, входящей в уравнения Эйнштейна. Уравнение состояния иногда называют четвёртым уравнением Фридмана.

Уравнения Фридмана имеют простой аналог в классической механике. Первое уравнение задаёт соотношение между удельной кинетической энергией и удельной потенциальной энергией пробной частицы в гравитационном поле:

$\displaystyle \frac{{\dot{a}}^2}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3},$где $\rho$ – средняя плотность материи во Вселенной, $G$ – гравитационная постоянная, точка над символом означает первую производную по времени.

Второе уравнение определяет ускорение расширения трёхмерного пространства:

$\displaystyle \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}.$Здесь две точки над символом означают вторую производную по времени.

Третье уравнение является законом сохранения вещества, в механике жидкости оно также носит название уравнения непрерывности:

$\displaystyle \dot{\rho}=-3\frac{\dot{a}}{a}\left(\rho+\frac{p}{c^2}\right).$Любое из этих трёх уравнений является следствием двух других.

В случае $Λ=0$ Вселенная должна быть нестационарной: расширяться или сжиматься. При этом эволюция и конечная судьба Вселенной определяется только параметром кривизны $k$. Первое уравнение Фридмана запишется в виде

$\displaystyle {H_0}^2{a_0}^2\left(\Omega-1\right)=kc^2,$где $a_0$ – современное значение масштабного фактора, $H_0$ – современное значение параметра Хаббла, $Ω$ – параметр плотности Вселенной, равный отношению средней суммарной плотности Вселенной (включая плотность обычного барионного вещества, излучения, тёмной материи и тёмной энергии) к критической плотности $\rho_c$:

$\displaystyle \Omega=\frac{\rho}{\rho_c}=\ \frac{8\pi G\rho}{3H_0^2}.$

• При $k=+1$ трёхмерное пространство Вселенной имеет закрытую геометрию (пространство Римана), расширение Вселенной рано или поздно останавливается и сменяется сжатием, которое в конце концов заканчивается Большим сжатием (рис. 2, а). Полная плотность Вселенной больше критической $(\Omega>1)$.

• При $k=0$ трёхмерное пространство Вселенной имеет плоскую (евклидову) геометрию, расширение Вселенной продолжается вечно и скорость этого расширения стремится к нулю на бесконечности (рис. 2, б). Полная плотность Вселенной равна критической $(\Omega=1)$.

• При $k=-1$ трёхмерное пространство Вселенной имеет открытую геометрию (пространство Лобачевского), расширение Вселенной продолжается вечно и скорость этого расширения стремится к ненулевой величине на бесконечности. Полная плотность Вселенной меньше критической $(\Omega<1)$. Если плотность существенно меньше критической, то замедление расширения Вселенной малó и Вселенная расширяется почти равномерно (рис. 2, в).

Рис. 2. Несколько характерных сценариев будущего Вселенной в зависимости от наличия космологической постоянной Λ и значения параметра кривизны k.До открытия ускоренного расширения современной Вселенной считалось, что во Вселенной реализуется последний вариант, т. е. после момента Большого взрыва Вселенная продолжает расширяться по инерции почти равномерно (рис. 2, в).

Ситуация меняется, когда $Λ≠0$ или в более общем случае $\displaystyle \rho+3p/c^2<0$. Величина $Λ<0$ эквивалентна наличию дополнительной силы гравитационного притяжения. Величина $Λ>0$ эквивалентна наличию дополнительной силы гравитационного отталкивания и может приводить к ускоренному расширению Вселенной (рис. 2, г). При наличии космологической постоянной в будущем может образоваться фиксированный космологический горизонт событий. Это воображаемая сфера, в центре которой находится наблюдатель, а всё, что находится вне этой сферы, для наблюдателя принципиально недостижимо. Решение уравнений ОТО в отсутствие материи с космологической постоянной $Λ>0$ и $Λ<0$ называется моделью де Ситтера и анти-де Ситтера соответственно.

Если в уравнении состояния $w_q\!>\!-1$, то это означает наличие тёмной энергии, называемой квинтэссенцией, плотность которой падает с расширением, но медленнее, чем плотность вещества или излучения. При таком уравнении состояния Вселенная никогда не станет бесконечно большой за конечное время. Фиксированный горизонт событий не образуется.

Если $w_q\!<\!-1$, то это означает наличие тёмной энергии, называемой фантомной энергией. Плотность такой энергии будет расти с расширением Вселенной до бесконечности. Фиксированный горизонт событий не образуется, но расстояния между галактиками станут бесконечно большими.

Для тёмной энергии с параметром уравнения состояния $w_q=1$ плотность при расширении остаётся постоянной и может образоваться фиксированный горизонт событий.

Формирование космологического горизонта очень чувствительно к балансу двух противоположных характеристик Вселенной: полной массы Вселенной, которая определяет её геометрию (параметр кривизны $k$), и природы тёмной энергии (космологическая постоянная $Λ$ или параметр тёмной энергии $w_q$), которая определяет темп расширения Вселенной.

Космологическая модель Фридмана является основой современной Стандартной космологической модели.