Научные теории, концепции, гипотезы, модели

Космологическая модель Фридмана

Космологи́ческая моде́ль Фри́дмана, теоретическая модель, описывающая глобальную эволюцию на основе решения уравнений (ОТО) для случая однородного и изотропного распределения плотности, температуры и давления вещества.

Модель была создана в 1922–1924 гг. в работах . Первая статья «О кривизне пространства» была опубликована в журнале «Zeitschrift für Physik» в 1922 г. Основной вывод этой работы заключался в том, что уравнения ОТО для случая изотропного и однородного распределения плотности, температуры и давления вещества имеют только нестационарные решения. Последнее означает, что Вселенная с такими свойствами должна либо расширяться, либо сжиматься и должна иметь начало. Модель Фридмана получила первое наблюдательное подтверждение в 1929 г., когда на основе измеренных расстояний до галактик и их было открыто в соответствии с .

Наблюдаемые на масштабах свыше 100 Мпк однородность и изотропия распределения материи во Вселенной соответствуют решению уравнений ОТО с максимально симметричной метрикой пространства-времени. В общем случае такая метрика носит название метрики Фридмана:

ds2=c2dt2a2(t)[dr21kr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)].\displaystyle ds^2=c^2dt^2-a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2{\theta}d\varphi^2\right)\right].Здесь dsds – пространства-времени, имеющий размерность длины; cc – скорость света в вакууме; a(t)a(t) – , имеющий размерность длины; r,  θ,  φr,\;θ,\; φ – пространственные координаты в сферической системе координат (причём rr – безразмерная координата); tt – время. Параметр кривизны (или постоянная кривизны) kk принимает только дискретные значения +1, –1 или 0, что соответствует закрытой, открытой или плоской (евклидовой) геометрии трёхмерного пространства (рис. 1).

Три типа однородных изотропных пространств, соответствующие разным значениям параметра кривизныРис. 1. Три типа однородных изотропных пространств, соответствующие разным значениям параметра кривизны.В рамках модели Фридмана материя во Вселенной аппроксимируется однородной идеальной жидкостью в сопутствующей системе отсчёта с p(ρ)=wρc2p(\rho)=w\rho c^2, где ρ\rho – плотность, pp – давление материи, cc – скорость света в вакууме, ww – коэффициент пропорциональности, который имеет разные значения для разных типов материи, заполняющих Вселенную. Например, для обычного вещества и релятивистской плазмы этот параметр принимает значения wm=0w_m=0 и wr=1/3w_r=1/3 соответственно. В случае уравнение состояния выглядит следующим образом:

pq=wqρqc2.p_q=w_q \rho_qc^2.Здесь pqp_q – давление тёмной энергии, ρq \rho_q – плотность тёмной энергии, wqw_q – коэффициент пропорциональности, значение которого, согласно современным наблюдательным данным, заключено в диапазоне 1, ⁣06wq1, ⁣0-1,\!06≤w_q≤-1,\!0. Поскольку природа тёмной энергии неизвестна, коэффициент wqw_q выделяют в качестве отдельного глобального , называемого . Если тёмная энергия описывается (Λ-членом), то wq ⁣= ⁣1w_q\!=\!-1.

В основе космологической модели Фридмана лежат три уравнения Фридмана, которые получаются из в предположении однородности и изотропии пространства-времени. Уравнения Фридмана показывают зависимость масштабного фактора a(t)a(t) от времени и от параметров космологической модели. Два основных параметра – это параметр кривизны kk, определяющий геометрию трёхмерного пространства, и космологическая постоянная ΛΛ, являющаяся фундаментальной постоянной, входящей в уравнения Эйнштейна. Уравнение состояния иногда называют четвёртым уравнением Фридмана.

Уравнения Фридмана имеют простой аналог в классической механике. Первое уравнение задаёт соотношение между удельной кинетической энергией и удельной потенциальной энергией пробной частицы в гравитационном поле:

a˙2a2=8πG3ρkc2a2+Λc23,\displaystyle \frac{{\dot{a}}^2}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3},где ρ\rho – средняя плотность материи во Вселенной, GG – гравитационная постоянная, точка над символом означает первую производную по времени.

Второе уравнение определяет ускорение расширения трёхмерного пространства:

a¨a=4πG3(ρ+3pc2)+Λc23.\displaystyle \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}.Здесь две точки над символом означают вторую производную по времени.

Третье уравнение является законом сохранения вещества, в механике жидкости оно также носит название уравнения непрерывности:

ρ˙=3a˙a(ρ+pc2).\displaystyle \dot{\rho}=-3\frac{\dot{a}}{a}\left(\rho+\frac{p}{c^2}\right).Любое из этих трёх уравнений является следствием двух других.

В случае Λ=0Λ=0 Вселенная должна быть нестационарной: расширяться или сжиматься. При этом эволюция и конечная судьба Вселенной определяется только параметром кривизны kk. Первое уравнение Фридмана запишется в виде

H02a02(Ω1)=kc2,\displaystyle {H_0}^2{a_0}^2\left(\Omega-1\right)=kc^2,где a0a_0 – современное значение масштабного фактора, H0H_0 – современное значение , ΩΩ, равный отношению средней суммарной плотности Вселенной (включая плотность обычного барионного вещества, излучения, и тёмной энергии) к ρc \rho_c:

Ω=ρρc= 8πGρ3H02.\displaystyle \Omega=\frac{\rho}{\rho_c}=\ \frac{8\pi G\rho}{3H_0^2}.

  • При k=+1k=+1 трёхмерное пространство Вселенной имеет закрытую геометрию (), расширение Вселенной рано или поздно останавливается и сменяется сжатием, которое в конце концов заканчивается (рис. 2, а). Полная плотность Вселенной больше критической (Ω>1)(\Omega>1).

  • При k=0k=0 трёхмерное пространство Вселенной имеет плоскую (евклидову) геометрию, расширение Вселенной продолжается вечно и скорость этого расширения стремится к нулю на бесконечности (рис. 2, б). Полная плотность Вселенной равна критической (Ω=1)(\Omega=1).

  • При k=1k=-1 трёхмерное пространство Вселенной имеет открытую геометрию (), расширение Вселенной продолжается вечно и скорость этого расширения стремится к ненулевой величине на бесконечности. Полная плотность Вселенной меньше критической (Ω<1)(\Omega<1). Если плотность существенно меньше критической, то замедление расширения Вселенной малó и Вселенная расширяется почти равномерно (рис. 2, в).

Космологическая модель Фридмана. Рис. 2Рис. 2. Несколько характерных сценариев будущего Вселенной в зависимости от наличия космологической постоянной Λ и значения параметра кривизны k.До открытия считалось, что во Вселенной реализуется последний вариант, т. е. после момента Большого взрыва Вселенная продолжает расширяться по инерции почти равномерно (рис. 2, в).

Ситуация меняется, когда Λ0Λ≠0 или в более общем случае ρ+3p/c2<0\displaystyle \rho+3p/c^2<0. Величина Λ<0Λ<0 эквивалентна наличию дополнительной силы гравитационного притяжения. Величина Λ>0Λ>0 эквивалентна наличию дополнительной силы гравитационного отталкивания и может приводить к ускоренному расширению Вселенной (рис. 2, г). При наличии космологической постоянной в будущем может образоваться фиксированный . Это воображаемая сфера, в центре которой находится наблюдатель, а всё, что находится вне этой сферы, для наблюдателя принципиально недостижимо. Решение уравнений ОТО в отсутствие материи с космологической постоянной Λ>0Λ>0 и Λ<0Λ<0 называется моделью де Ситтера и анти-де Ситтера соответственно.

Если в уравнении состояния wq ⁣> ⁣1w_q\!>\!-1, то это означает наличие тёмной энергии, называемой , плотность которой падает с расширением, но медленнее, чем плотность вещества или излучения. При таком уравнении состояния Вселенная никогда не станет бесконечно большой за конечное время. Фиксированный горизонт событий не образуется.

Если wq ⁣< ⁣1w_q\!<\!-1, то это означает наличие тёмной энергии, называемой . Плотность такой энергии будет расти с расширением Вселенной до бесконечности. Фиксированный горизонт событий не образуется, но расстояния между галактиками станут бесконечно большими.

Для тёмной энергии с параметром уравнения состояния wq=1w_q=1 плотность при расширении остаётся постоянной и может образоваться фиксированный горизонт событий.

Формирование космологического горизонта очень чувствительно к балансу двух противоположных характеристик Вселенной: полной массы Вселенной, которая определяет её геометрию (параметр кривизны kk), и природы тёмной энергии (космологическая постоянная ΛΛ или параметр тёмной энергии wqw_q), которая определяет темп расширения Вселенной.

Космологическая модель Фридмана является основой современной .

  • Космологические модели и теории
  • Решения общей теории относительности