Конфо́рмные кла́ссы ри́мановых пове́рхностей, классы, состоящие из конформно эквивалентных римановых поверхностей. Замкнутые римановы поверхности имеют простой топологический инвариант – род $g$; при этом любые две поверхности одного рода гомеоморфны. В простейших случаях топологическая эквивалентность двух римановых поверхностей обеспечивает и их принадлежность к одному и тому же конформному классу римановых поверхностей, т. е. конформную эквивалентность, или, говоря иначе, совпадение их конформных структур. Это выполняется, например, для поверхностей рода 0, т. е. гомеоморфных сфер. В общем случае дело обстоит не так. Ещё Б. Риман заметил, что классы конформной эквивалентности римановых поверхностей рода $g>1$ зависят от $3 g-3$ комплексных параметров, называемых модулями римановых поверхностей; для конформно эквивалентных поверхностей эти модули совпадают. Случай $g=1$ описан ниже. Если же рассматривать компактные римановы поверхности рода $g$ с $n$ аналитическими компонентами края, то для их конформной эквивалентности требуется совпадение $6 g-6+3 n$ действительных параметров-модулей ($g \geqslant 0$, $n \geqslant 0$, $6 g-6 +3 n>0$). В частности, для $n$-связных плоских областей ($n \geqslant 3$) таких модулей $3 n-6$; всякая двусвязная плоская область конформно эквивалентна кольцу с определённым отношением радиусов.

Указанное выше замечание Б. Римана послужило истоком классической проблемы модулей римановых поверхностей, которая заключается в том, чтобы изучить природу этих параметров и, если возможно, ввести их так, чтобы они определяли на множестве римановых поверхностей данного рода $g$ комплексно-аналитическую структуру. Имеются два подхода к проблеме модулей: алгебраический и аналитический. Алгебраический подход связан с изучением полей $K(S)$ мероморфных функций на римановой поверхности $S$. В случае замкнутой поверхности $K(S)$ есть поле алгебраических функций (для $g=0$ – это поле рациональных, а для $g=1$ – поле эллиптических функций). Каждая замкнутая риманова поверхность $S$ конформно эквивалентна римановой поверхности некоторой алгебраической функции, определяемой уравнением $P(z, w)=0$, где $P$ – неприводимый многочлен над $\mathbb{O}$. Это уравнение задаёт плоскую алгебраическую кривую $X$, и поле рациональных функций на $X$ отождествляется с полем мероморфных функций на $S$. Конформной эквивалентности римановых поверхностей соответствует бирациональная эквивалентность (совпадение) полей их алгебраических функций или, что равносильно, бирациональная эквивалентность определяемых этими поверхностями алгебраических кривых.

Аналитический подход опирается на геометрические и аналитические свойства римановых поверхностей. Оказывается удобным ослабить конформную эквивалентность римановых поверхностей, наложив топологические ограничения. Вместо римановых поверхностей $S$ данного рода $g \geqslant 1$ берутся пары $(S, f)$, где $f$ – гомеоморфизм фиксированной поверхности $S_0$ рода $g$ на $S$; две пары $(S, f$), $\left(S^{\prime}, f^{\prime}\right)$ считаются эквивалентными, если существует такой конформный гомеоморфизм $h: S \rightarrow S^{\prime}$, что отображение

$$\left(f^{\prime}\right)^{-1} \circ h \circ f: S_0 \rightarrow S_0$$гомотопно тождественному. Множество классов эквивалентности $\{(S, f)\}$ называется пространством Тайхмюллера $T\left(S_0\right)$ поверхности $S_0$. В $T\left(S_0\right)$ вводится метрика с помощью квазиконформных гомеоморфизмов $S \rightarrow S^{\prime}$. Аналогичным образом определяется пространство Тайхмюллера и для некомпактной римановой поверхности, но тогда берутся только квазиконформные гомеоморфизмы $f$. Для замкнутых поверхностей $S_0$ данного рода $g$ пространства $T\left(S_0\right)$ изометрически изоморфны, и можно говорить о пространстве Тайхмюллера $T_g$ поверхностей рода $g$. Пространство $R_g$ конформных классов римановых поверхностей рода $g$ получается факторизацией $T_g$ по некоторой счётной группе $\Gamma_g$ его автоморфизмов, называемой модулярной группой.

Наиболее простым является случай поверхностей рода $\mathrm{1}$ – торов. Каждый тор $S$ после конформного отображения его универсальной накрывающей на комплексную плоскость $\mathbb{C}$ представляется в виде $\mathbb{C} / G$, где $G$ – группа сдвигов с двумя образующими $\omega_1, \omega_2$ такими, что $\operatorname{Im}\left(\omega_2 / \omega_1\right)>0$; при этом два тора $S$ и $S^{\prime}$ конформно эквивалентны тогда и только тогда, когда отношения $\tau=\omega_2 / \omega_1$ и $\tau^{\prime} = \omega_2^{\prime} / \omega_1^{\prime}$ соответствующих образующих связаны модулярным преобразованием

$$\begin{gathered} \tau^{\prime}=(a \tau+b) /(c \tau+d),\quad a d-b c=1; \\ a, b, c, d \in \mathbb{Z}. \end{gathered}$$В качестве (комплексного) модуля данного конформного класса римановых поверхностей $\{S\}$ можно взять значение эллиптической модулярной функции $J(\tau)$. Пространство Тайхмюллера $T_{\mathrm{1}}$ совпадает с полуплоскостью $H=\{\tau \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} \tau>0\}$, $\Gamma_{\mathrm{1}}$ есть эллиптическая модулярная группа $S L(2, \mathbb{Z}) /\{ \pm 1\}$, а $R_{\mathrm{1}}= T_{\mathrm{1}} / \Gamma_{\mathrm{1}}$ – риманова поверхность, конформно эквивалентная $\mathbb{O} \backslash\{0, {\mathrm{1}}\}.$Все эллиптические кривые (и поверхности рода $\mathrm{1}$) допускают одновременную униформизацию с помощью функции Вейерштрасса $\mathfrak{V}(z ; \mathrm{1}, \tau)$ и её производной $\mathfrak{V}^{\prime}(z ; \mathrm{1}, \tau)$.

При $g>1$ ситуация значительно сложнее. Установлены, в частности, следующие основные свойства пространства $T_{g}$: 1) $T_g$ гомеоморфно $R^{6 g-6}$; 2) $T_g$ биголоморфно вкладывается в виде ограниченной области в $\mathbb{C}^{3 g-3}$, которая голоморфно выпукла; 3) модулярная группа $\Gamma_g$ дискретна (даже собственно разрывна) и при $g>2$ является полной группой биголоморфных автоморфизмов $T_g$ ; 4) накрытие $T_g \rightarrow T_g / \Gamma_g$ является разветвлённым, a $T_g / \Gamma_g=R_g$ есть нормальное комплексное пространство с неуниформизируемыми особенностями. Такие же свойства, за отдельными исключениями в 3), имеют место и для более общего случая замкнутых римановых поверхностей с конечным числом проколов, которым соответствуют конечномерные пространства Тайхмюллера. Указанное биголоморфное вложение $T_g$ в $\mathbb{C}^{3 g-3}$ получается с помощью униформизации и свойств квазиконформных отображений. Поверхность $S_0$ представляется в виде $S_0=H / \Gamma_0$, где $\Gamma_0$ – фуксова группа, действующая разрывно в верхней полуплоскости $H$ (определяемая с точностью до сопряжения в группе всех конформных автоморфизмов $H$), и рассматриваются квазиконформные автоморфизмы $w=f^\mu(z)$ плоскости $\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup\{\infty\}$, т. е. решения уравнения Бельтрами $w_{\bar{z}}=\mu(z) w_z$, где $\mu(z) d \bar{z} / d z$ – инвариантные относительно $\Gamma_0$ формы с носителями в $H$, $\|\mu\|_{L_{\infty}}<1$. Пусть ещё $f^\mu$ оставляют неподвижными точки $0,1, \infty$. Тогда $T_g$ можно отождествить с пространством сужений $f^\mu \mid {R}$ или, что равносильно, сужений $f \mu \mid L$, $L=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} z<0\}$, и $T_g$ биголоморфно эквивалентно области, заполняемой производными Шварца

$$\left\{f^\mu, z\right\}=\frac{f^{\prime \prime \prime}(z)}{f^{\prime}(z)} -\frac{3}{2}\left[\frac{f^{\prime \prime}(z)}{f^{\prime}(z)}\right]^2, \quad f=f^\mu,\,\, z \in L,$$в комплексном пространстве $B\left(L, \Gamma_0\right)$ голоморфных в $L$ решений уравнения

$$\varphi(\gamma(z)) \gamma^{\prime 2}(z)=\varphi(z), \quad \gamma \in \Gamma_0$$c нормой

$$\|\varphi\|=\sup _L|\operatorname{Im} z|^2|\varphi(z)|;$$при этом $\operatorname{dim} B\left(L, \Gamma_0\right)=3 g-3$. Используя это вложение, можно построить расслоенное пространство $\tilde{T}_{g_0}$ с базой $T_g$, также допускающее введение комплексной структуры, и голоморфные функции $\psi_1, \ldots, \psi_{5 g-5}$ на $\tilde{T}_g$, позволяющие дать параметрическое представление всех алгебраических кривых рода $g$ в комплексном проективном пространстве $P^n$, $n \geqslant 2$. Указанная конструкция, связанная с вложением $T_g$ в $B\left(L, \Gamma_0\right)$, обобщается на произвольные римановы поверхности и фуксовы группы. В частности, для компактных римановых поверхностей с аналитическими границами получающееся пространство Тайхмюллера допускает введение в нём глобальной вещественно аналитической структуры соответствующей размерности.

Другое описание конформного класса римановых поверхностей рода $g>1$ получается с помощью так называемых матриц периодов этих поверхностей. Это – симметрические $(g \times g)$-матрицы с положительно определённой мнимой частью. Пространство $T_g$ голоморфно вкладывается во множество всех таких матриц (верхнюю полуплоскость Зигеля) $H_g$ (Берс. 1973; Шиффер. 1957).

Имеются замкнутые римановы поверхности с определённой симметрией, конформные классы которых зависят от меньшего числа параметров. Это – гиперэллиптические поверхности, эквивалентные двулистным римановым поверхностям функций $w=\sqrt{p(z)}$, где $p(z)$ – многочлены вида $\left(z-z_1\right) \ldots\left(z-z_{2 g+2}\right)$. Они допускают конформную инволюцию и зависят от $2 g-1$ комплексных параметров. Все поверхности рода 2 гиперэллиптичны; при $g>2$ такие поверхности образуют в $T_g$ аналитические подмногообразия размерности $2 g-1$.

С конформными классами римановых поверхностей связан вопрос о конформных автоморфизмах данной римановой поверхности $S$. За исключением нескольких частных случаев, группа $\operatorname{Aut} S$ таких автоморфизмов дискретна. В случае замкнутых поверхностей рода $g>1$ она конечна, причём тогда порядок $\operatorname{Aut} S$ не превосходит $84(g-1)$.

Имеющаяся классификация некомпактных римановых поверхностей бесконечного рода основана на выделении отдельных конформных инвариантов и не определяет конформные классы римановых поверхностей полностью; обычно это делается в терминах существования аналитических или гармонических функций с определёнными свойствами.