Компактифика́ция Алекса́ндрова (александровская компактификация, одноточечная компактификация), компактификация хаусдорфова локально компактного некомпактного топологического пространства, получаемая добавлением одной точки. Более подробно, пусть $X$ – произвольное хаусдорфово локально компактное некомпактное пространство; на множестве $\alpha X=X\cup\{\xi\}$, где $\xi$ – некоторая точка, не принадлежащая множеству $X$, определяется топология: открытыми в $\alpha X$ являются: а) все открытые в $X$ множества; б) все множества вида $\{\xi\}\cup (X\setminus K)$, где $K$ – компактное подмножество в $X$. Оказывается, что $\alpha X$ с этой топологией является хаусдорфовым компактным пространством, а отображение $\alpha\colon X\to\alpha X$, определённое правилом $\alpha(x)=x$, является гомеоморфным вложением, образ при котором $\alpha(X)=X$ всюду плотен в $\alpha X$. Таким образом, $\alpha X$ является компактификацией пространства $X$; она называется компактификацией Александрова или александровской.

Павел Александров. АРАН. Ф. 411. Оп. 3. Д. 420. Л. 1.Павел Александров. АРАН. Ф. 411. Оп. 3. Д. 420. Л. 1.Компактификация Александрова является наименьшей в семействе всех компактификаций данного хаусдорфова локально компактного некомпактного пространства $X$ (т. е. для любой другой компактификации $c\colon X\to cX$ существует непрерывное отображение $f\colon cX\to\alpha X$, такое, что $f\circ c= \alpha$); отсюда также следует, что любая компактификация пространства $X$, нарост которой состоит из единственной точки, эквивалентна александровской; поэтому последнюю часто именуют просто одноточечной компактификацией. Обратно, если в семействе всех компактификаций некомпактного тихоновского пространства $X$ существует наименьший элемент $cX$, то $X$ локально компактно и $cX$ эквивалентна александровской компактификации $\alpha X$ пространства $X$. Кроме того, если нарост некоторой компактификации тихоновского пространства $X$ состоит из одной точки, то $X$ необходимо локально компактно, т. е. одноточечная компактификация существует у хаусдорфовых локально компактных некомпактных пространств и только у них; при этом такая компактификация определена единственным (с точностью до гомеоморфизма) образом. Наконец, если $Y$ – хаусдорфово компактное пространство и $y_0\in Y$ – его неизолированная точка, то $Y$ эквивалентно александровской компактификации пространства $X=Y\setminus \{y_0\}$.

Примеры. 1. Отображение $f\colon{\mathbb R}^2\to{\mathbb S}^2$ плоскости в двумерную сферу, обратное стереографической проекции, является гомеоморфным вложением, образ при котором есть подпространство ${\mathbb S}^2\setminus\{p_0\}$, где $p_0\in{\mathbb S}^2$ – «северный полюс» сферы (из которого осуществляется проекция). Таким образом, двумерная сфера является (с точностью до гомеоморфизма) александровской компактификацией плоскости; более общо, $n$-мерная сфера ${\mathbb S}^n$ ($n\geqslant 1$) является александровской компактификацией евклидова пространства ${\mathbb R}^n$.

2. Пусть $\{x_n\}_1^\infty$ – последовательность попарно различных точек хаусдорфова пространства $X$, cходящаяся к точке $x_0$, отличной от каждой из них. Тогда подпространство $D=\{x_1, x_2, x_3\ldots{}\}\subset X$ дискретно, а подпространство $A=D\cup\{x_0\}$ является александровской компактификацией пространства $D$. Этот факт условно выражают следующим образом: «сходящаяся последовательность есть александровская компактификация счётного дискретного пространства».

3. Александровская компактификация пространства $D(\mathfrak m)$, т. е. дискретного пространства мощности $\mathfrak m$ (где $\mathfrak m$ – бесконечный кардинал), обозначается через $A(\mathfrak m)$. Явное описание этого пространства состоит в следующем: в произвольном множестве $A$ мощности $\mathfrak m$ выбрана точка $a_0$, и открытыми в $A$ множествами являются все его подмножества, не содержащие $a_0$, и все его подмножества, имеющие конечное дополнение.

Конструкция александровской компактификации $\alpha X$ может быть обобщена на случай произвольного топологического пространства $X$, а именно – на множестве $\alpha X=X\cup\{\xi\}$, где $\xi\notin X$, топология вводится следующим образом: открытыми в $\alpha X$ являются все открытые в $X$ множества, а также все множества вида $\{\xi\}\cup (X\setminus K)$, где $K$ – замкнутое компактное подмножество в $X$ (если $X$ хаусдорфово, то требование замкнутости здесь можно опустить, поскольку в этом случае всякое компактное $K\subset X$ замкнуто). Тогда $\alpha X$ [вместе с отображением $\alpha\colon X\to \alpha X$, определённым равенством $\alpha(x)=x$] часто называется александровским расширением пространства $X$. Таким образом, александровская компактификация – это александровское расширение хаусдорфова локально компактного некомпактного пространства.

Александровское расширение $\alpha X$ произвольного топологического пространства $X$ обладает следующими свойствами:

a) пространство $\alpha X$ компактно, а отображение $\alpha\colon X\to \alpha X$ является гомеоморфным вложением, причем множество $X=\alpha(X)$ открыто в $\alpha X$;
b) $X$ всюду плотно в $\alpha X$ (или, что равносильно, точка $\xi$ не изолирована в $\alpha X$) в том и только в том случае, если $X$ некомпактно;
c) $\alpha X$ является $T_1$-пространством в том и только в том случае, если $X$ является $T_1$-пространством;
d) пространство $\alpha X$ хаусдорфово в том и только в том случае, если $X$ хаусдорфово и локально компактно.

Конструкция одноточечной компактификации хаусдорфова локально компактного некомпактного пространства принадлежит П. С. Александрову (Alexandroff. 1924; рус. пер.: Александров. 1978).