Научные законы, утверждения, уравнения

Уравнение Гаммерштейна

Уравне́ние Гаммерште́йна, нелинейное интегральное уравнение вида

φ(x)+abK(x,s)f[s,φ(s)]ds=0,axb,\varphi(x)+\int_{a}^{b} K(x,s) f[s,\varphi(s)]\, ds=0, \quad a\leqslant x\leqslant b,где K(x,s)K(x,s) и f(x,s)f(x,s) – заданные функции, а φ(x)\varphi(x) – искомая функция. Названо по имени А. Гаммерштейна, рассмотревшего случай, когда K(x,s)K(x,s) есть фредгольмово симметричное и положительное ядро, т. е. все его собственные значения положительны. Если, кроме того, функция f(x,s)f(x,s) непрерывна и удовлетворяет условию

f(x,s)C1s+C2,|f(x,s)|\leqslant C_{1}|s|+C_{2},где C1C_{1} и C2C_{2} – положительные постоянные, причём C1C_{1} меньше первого собственного значения ядра K(x,s)K(x,s), то уравнение Гаммерштейна имеет по крайней мере одно непрерывное решение. Если же для любого фиксированного xx из интервала (a,b)(a,b) функция f(x,s)f(x,s) является неубывающей функцией от ss, то уравнение Гаммерштейна может иметь не более одного решения. Это последнее свойство сохраняется и в том случае, если функция f(x,s)f(x,s) удовлетворяет условию

f(x,s1)f(x,s2)Cs1s2,\left|f\left(x, s_{1}\right)-f\left(x, s_{2}\right)\right| \leqslant C\left|s_{1}-s_{2}\right|,где положительная постоянная CC меньше первого собственного значения ядраK(x,s) K(x,s). Для построения решения уравнения Гаммерштейна можно применять .

  • Уравнение с факторизующимся ядром