Уравнение Гаммерштейна

Уравне́ние Гаммерште́йна, нелинейное интегральное уравнение вида

$$\varphi(x)+\int_{a}^{b} K(x,s) f[s,\varphi(s)]\, ds=0, \quad a\leqslant x\leqslant b,$$где $K(x,s)$ и $f(x,s)$ – заданные функции, а $\varphi(x)$ – искомая функция. Названо по имени А. Гаммерштейна, рассмотревшего случай, когда $K(x,s)$ есть фредгольмово симметричное и положительное ядро, т. е. все его собственные значения положительны. Если, кроме того, функция $f(x,s)$ непрерывна и удовлетворяет условию

$$|f(x,s)|\leqslant C_{1}|s|+C_{2},$$где $C_{1}$ и $C_{2}$ – положительные постоянные, причём $C_{1}$ меньше первого собственного значения ядра $K(x,s)$, то уравнение Гаммерштейна имеет по крайней мере одно непрерывное решение. Если же для любого фиксированного $x$ из интервала $(a,b)$ функция $f(x,s)$ является неубывающей функцией от $s$, то уравнение Гаммерштейна может иметь не более одного решения. Это последнее свойство сохраняется и в том случае, если функция $f(x,s)$ удовлетворяет условию

$$\left|f\left(x, s_{1}\right)-f\left(x, s_{2}\right)\right| \leqslant C\left|s_{1}-s_{2}\right|,$$где положительная постоянная $C$ меньше первого собственного значения ядра$K(x,s)$. Для построения решения уравнения Гаммерштейна можно применять метод последовательных приближений.