Уравне́ние Вольте́рры, интегральное уравнение вида

$$\int_{a}^{x} K(x, s) \varphi(s)\,ds=f(x)\tag{1}$$(линейное интегральное уравнение Вольтерры I рода) или вида

$$\varphi(x)-\lambda \int_{a}^{x} K(x, s) \varphi(s)\,ds=f(x) \tag{2}$$(линейное интегральное уравнение Вольтерры II рода). Здесь $x$, $s$, $a$ – действительные числа, $\lambda$ – (вообще говоря) комплексный параметр, $\varphi(s)$ – неизвестная функция, $f(x)$, $K(x, s)$ – заданные функции, суммируемые с квадратом соответственно на отрезке $[a,b]$ и в области $a\leqslant x\leqslant b$, $a\leqslant s\leqslant x$. При этом функция $f(x)$ называется свободным членом уравнения Вольтерры, а функция $K(x, s)$ – ядром уравнения Вольтерры.

Уравнения Вольтерры могут рассматриваться как частный вид уравнений Фредгольма, когда ядро $K(x, s)$, задаваемое на квадрате $a\leqslant x \leqslant b$, $a\leqslant s\leqslant b$, обращается в нуль в треугольнике $a\leqslant x<s\leqslant b$. Уравнение Вольтерры II рода без свободного члена называется однородным уравнением Вольтерры. Выражение

$$\int_{a}^{x} K(x,s) \varphi(s)\,ds$$определяет интегральный оператор, действующий в $L_2$; он называется оператором Вольтерры.

Впервые уравнения вида (2) были систематически рассмотрены В. Вольтеррой (Volterra V., 1896, 1897). Частный вид уравнения Вольтерры (1) – интегральное уравнение Абеля, был впервые рассмотрен Н. X. Абелем (N. Н. Abel). Основной результат теории уравнения Вольтерры II рода состоит в следующем. При любом комплексном $\lambda\ne\infty$ существует, и притом единственное, суммируемое с квадратом решение уравнения Вольтерры II рода. Это решение может быть получено методом последовательных приближений, т. е. как предел сходящейся в среднем квадратическом последовательности:

$$\varphi_{n+1}(x)=\lambda \int_{a}^{x} K(x, s) \varphi_{n}(s)\,d s+f(x),\tag{3}$$$\varphi_0$ – произвольная, суммируемая с квадратом. В случае непрерывного ядра $K(x,s)$ и $f\in C([a, b])$ эта последовательность сходится равномерно на $[a,b]$ к единственному непрерывному решению.

Относительно уравнения Вольтерры І рода справедливы следующие утверждения. Если $f(s)$ и $K(x,s)$ дифференцируемы, $K(x,x) \neq 0$, $x \in[a, b]$, и если $K(x,x)$ и $K_{x}^{\prime}(x,s)$ суммируемы с квадратом соответственно на$[a,b]$ и на $a\leqslant x\leqslant b$, $a\leqslant s\leqslant b$, то уравнение Вольтерры I рода эквивалентно уравнению Вольтерры II рода, полученному дифференцированием из уравнения Вольтерры I рода и имеющему вид

$$\varphi(x)+\int_{a}^{x} \frac{K_{x}^{\prime}(x, s)}{K(x, x)} \varphi(s)\,d s=\frac{f^{\prime}(x)}{K(x, x)}.$$Если $K(x, x)=0$ по крайней мере в одной точке, решение уравнения Вольтерры I рода требует более сложного исследования. Если же $K(x, x)\equiv 0$, то (при некоторых условиях) операцию дифференцирования можно повторить. В случае, когда дифференцирование невозможно или не приводит к уравнению Вольтерры II рода, можно, вообще говоря, указать только тривиальный критерий разрешимости. Именно: уравнение Вольтерры (1) разрешимо тогда и только тогда, когда $f$ принадлежит области значений интегрального оператора Вольтерры левой части. Решение уравнения Вольтерры (1) в этом случае может быть получено, например, при помощи регуляризующего алгоритма (см. Тихоновская регуляризация).

Для практических приложений уравнения Вольтерры II рода весьма важно уметь хотя бы приближённо вычислить его решение, например при помощи последовательных приближений. Однако обычно более удобны методы другого типа, один из которых заключается в следующем. Пусть $f$ и $K$ – непрерывные функции. Отрезок $[a, b]$ разбивается точками деления $x_{i}$ на $N$ равных частей, причём $x_{0}=a$, $x_{N}=b$. Для того чтобы приближённо найти $\varphi(x_{i})$, интеграл по отрезку заменяется квадратурной суммой, например, при помощи формулы прямоугольников с узлами $x_{0}, \ldots x_{i-1}$:

$$\int_{a}^{x_i} K(x_{i}, s) \varphi(s)\,ds \approx \sum_{j=0}^{{i-1}} K(x_{i}, x_{j}) \varphi(x_{j}) \frac{b-a}{N}.$$Для получения $\varphi(x_{i})$ используется рекуррентное соотношение:

$$\begin{gathered} \varphi(x_{i})=\lambda \frac{b-a}{N} \sum_{j=0}^{i-1} K(x_{i}, x_{j}) \varphi(x_{j})+f(x_{i}), \\ \varphi(x_{0})=f(a). \end{gathered}\tag{4}$$Значения приближённого решения в точках из $[a, b]$, лежащих между точками деления, могут быть найдены, например, при помощи соотношения:

$$\begin{gathered} \varphi(x) \simeq \lambda \frac{b-a}{N} \sum_{j=1}^{i-1} K(x, x_{j}) \varphi(x_{j})+f(x), \\ x_{j-1}<x \leq x_j. \end{gathered} \tag5$$Это приближённое решение при $N \rightarrow \infty$ сходится равномерно к точному решению уравнения Вольтерры II рода.

Возможны многочисленные модификации приведённого метода.

Всё сказанное выше справедливо также для уравнений Вольтерры, у которых ядро $K(x,s)$ есть матрица размера $r \times r$, а $\varphi$ и $f$ суть $r$-мерные вектор-функции.

Уравнением Вольтерры, или обобщённым уравнением Вольтерры, называется также более общее интегральное уравнение вида

$$\varphi(P)-\lambda \int_{D(P)} K(P, Q) \varphi(Q)\,d Q=f(P),\tag{6}$$если последовательные приближения вида (3) сходятся в том или ином смысле (например, равномерно или в среднем) на области определения функций $\varphi$ и $f$ при $\lambda \neq \infty$. Здесь $P$ и $Q$ – точки $n$-мерного евклидова пространства, $D(P)$ – область интегрирования, вообще говоря зависящая от точки $P$, и $D(P) \subseteq D$ при любом $P$. Примером может служить уравнение

$$\varphi(x, y)-\lambda \int_{a}^{x} \int_{a}^{b} K(x, y, \xi, \eta) \varphi(\xi, \eta)\,d\xi\,d\eta=f(x,y).$$Если функция $K(x,y,\xi,\eta)$ суммируема с квадратом при $a\leqslant x\leqslant b$, $a\leqslant y\leqslant b$, $a\leqslant\xi\leqslant b$, $a\leqslant\eta\leqslant b$, a $f(x,y)$ суммируема с квадратом при $a\leqslant x\leqslant b$, $a\leqslant y\leqslant b$, то последовательность (3) сходится в среднем квадратическом при $\lambda\neq\infty$. Обобщённое уравнение Вольтерры I рода обычно не удаётся свести к уравнению Вольтерры ІІ рода, хотя такие случаи возможны.

Дальнейшим обобщением уравнений Вольтерры вида (2) и (6) служит линейное операторное уравнение:

$$\varphi-\lambda A \varphi=f,\tag{7}$$где $\varphi$ и $f$ – элементы банахова пространства $E$, $\lambda$ – комплексный параметр, $A$ – линейный вполне непрерывный оператор. Это уравнение называется операторным уравнением Вольтерры, а оператор $A$ – оператором Вольтерры, или абстрактным оператором Вольтерры, если оператор $(I-\lambda A)$ обратим в $E$ при любом $\lambda\neq\infty$. В этом случае последовательность вида: $\varphi_{0} \in E$ – произвольное, $\varphi_{n+1}=\lambda A \varphi_{n}+f$, сходится по норме пространства $E$ к решению уравнения (7). В современной теории операторов Вольтерры и уравнений Вольтерры установлены глубокие связи между абстрактным и обычным интегральным операторами Вольтерры.

Нелинейными уравнениями Вольтерры называются иногда уравнения Вольтерры, в которых произведение $K(x,s)\varphi(s)$ заменено некоторой нелинейной (относительно $\varphi(s)$) функцией $K(x,s,\varphi(s)$). Уравнения такого типа часто встречаются в теоретических и прикладных исследованиях. Так, задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения может быть легко сведена к задаче решения нелинейного уравнения Вольтерры. Применение теории потенциала к краевым задачам для уравнений параболического типа сводит эти краевые задачи к обобщённому уравнению Вольтерры. Для нелинейных уравнений Вольтерры при тех или иных предположениях относительно $K(x,s,\varphi(s))$ может быть доказана сходимость последовательных приближений вида (3) на отрезке $[a,a+\Delta a]$, где $\Delta a$ достаточно мало. Для приближённого решения нелинейных уравнений Вольтерры применяется рекуррентное соотношение (4); нужно только заменить $K(x_{i},x_{j})\varphi(x_{j})$ на $K(x_{i},x_{j},\varphi(x_{j}))$. В случае, когда $K(x,s,\varphi(s))$ не зависит от $x$, этот метод совпадает с методом Эйлера.