Уравне́ние Фредго́льма, интегральное уравнение вида

$$\displaystyle\int_{a}^{b} K(x,s) \varphi(s)\,d s=f(x),\quad x \in[a, b],$$– уравнение Фредгольма 1-го рода, или вида

$$\varphi(x)-\lambda \int_{a}^{b} K(x,s) \varphi(s)\,d s=f(x),\quad x \in[a, b],\tag{1}$$– уравнение Фредгольма 2-го рода, если интегральный оператор

$$K \varphi(x)=\int_{a}^{b} K(x, s) \Phi(s)\,d s,\quad x \in[a, b],\tag{2}$$является вполне непрерывным в некотором функциональном пространстве $E$. Предполагается, что свободный член $f$ и искомая функция $\varphi$ принадлежат пространству $E$. Важным примером уравнения Фредгольма является уравнение, в котором ядро $K$ удовлетворяет условию

$$B^{2}=\int_{a}^{b} \int_{a}^{b}|K(x, s)|^{2}\,d x\,ds<\infty,\tag{3}$$а $E=L_{2}([a, b])$.

Численный параметр $\lambda$ и функции $f$, $\varphi$, $K$ могут принимать как действительные, так и комплексные значения. Об уравнении Фредгольма 1-го рода см. Интегральное уравнение с симметричным ядром и Некорректные задачи. Ниже рассматриваются лишь уравнения Фредгольма 2-го рода.

Метод последовательных приближений решения уравнения Фредгольма 2-го рода. Это первый метод, который был предложен для решения уравнения (1). Для формулировки этого метода пусть уравнение (1) записано в виде

$$\varphi(x)=f(x)+\lambda K \varphi(x),\quad x \in[a, b],\tag{4}$$Предполагается, что ядро $K$ удовлетворяет условию (3), a $E=L_{2}([a, b])$. Пусть начальное приближение искомого решения $\varphi_{0}=f$; если $(n-1)$-е приближение $\varphi_{n-1}$ построено, то

$$\varphi_{n}=f+\lambda K \varphi_{n-1};$$при этом

$$\varphi_{n}=\sum_{m=0}^{n} \lambda^{m} K_{m} f, \tag{5}$$где $K_{m}$ обозначает $m$-е итерированное ядро ядра $K$. Функция (5) является частичной суммой ряда

$$\sum_{m=0}^{\infty} \lambda^{m} K_{m} f,\tag{6}$$который называется рядом Неймана (или рядом Лиувилля – Неймана). Если $|\lambda|<B^{-1}$, то ряд (6) сходится в среднем к решению уравнения (1), и это решение единственное (см., например, Smithies F., 1941). Если существует такая положительная постоянная $A$, что

$$\displaystyle\int_{a}^{b}|K(x, s)|^{2}\,d s \leqslant A,\quad x \in[a, b],$$то ряд (6) сходится абсолютно и равномерно. Вообще говоря, ряд (6) расходится, если $|\lambda| \geqslant B^{-1}$. Именно это так, если ядро $K$ имеет характеристическое число. Если же ядро не имеет характеристических чисел (как, например, в случае ядра Вольтерра), то ряд (6) сходится при любом значении $\lambda$.

Метод Фредгольма решения уравнений Фредгольма 2-го рода. Метод последовательных приближений дает возможность построить решение уравнения (1), вообще говоря, лишь при малых значениях параметра $\lambda$. Метод, дающий возможность решить уравнение (1) для любого значения параметра $\lambda$, 6ыл впервые предложен Э. Фредгольмом. B предположении, что ядро $K$ непрерывно на квадрате $[a, b] \times[a, b]$, а свободный член и искомое решение непрерывны на сегменте $[a, b]$, ниже кратко описана идея этого метода.

Отрезок $[a, b]$ делится на $n$ равных частей длины $h=(b-a)/n$. Если заменить интеграл в (1) интегральной суммой, то точное уравнение (1) заменяется приближённым

$$\varphi(x)-\lambda h \sum_{i=1}^{n} K\left(x, s_{j}\right) \varphi\left(s_{j}\right)=f(x),\quad x \in[a, b].\tag{7}$$Полагая в (7) последовательно $x=s_{1}, \ldots, s_{n}$, для определения приближённого значения неизвестной функции $\varphi$ в точках $s_{j}$ получают линейную алгебраическую систему

$$\varphi_{i}-\lambda h\sum_{j=0}^{n} K_{i j} \varphi_{j}=f_{i},\quad i=1,2, \ldots, n,\tag{8}$$где $f\left(s_{i}\right)=f_{i}$, $\varphi\left(s_{i}\right)=\varphi_{i}$, $K\left(s_{i}, s_{j}\right)=K_{i j}$. Разрешимость системы (8) зависит от значения определителя

$$\Delta(\lambda)=\begin{vmatrix} 1-\lambda h K_{11}&-\lambda h K_{12} & \dots & -\lambda h K_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ -\lambda h K_{n 1}&-\lambda h K_{n 2} & \dots& 1 -\lambda h K_{n n} \end{vmatrix},$$который является многочленом относительно $\lambda$. Если $\lambda$ отличен от корней этого многочлена, то система (8) разрешима. Решив эту систему и подставив полученные значения $\varphi_{i}=\varphi\left(s_{j}\right)$ в (7), получают приближённое решение уравнения (1)

$$\varphi(x) \approx f(x)+\lambda \dfrac{Q\left(x, s_{1}, \ldots, s_{n} ; \lambda\right)}{\Delta(\lambda)},\tag{9}$$где $Q$ и $\Delta$ – многочлены относительно $\hat\lambda$. Приведённый путь является одним из возможных вариантов построения приближённого решения уравнения Фредгольма (1).

Можно ожидать, что в пределе, когда $n \rightarrow \infty$ так, что интегральная сумма в (7) совпадает с интегралом в (1), предел правой части в (9) совпадает с точным решением уравнения (1). С помощью формальных переходов к пределам в соответствующих выражениях Э. Фредгольм установил формулу, которая должна представлять решение уравнения (1)

$$\varphi(x)=f(x)+\lambda \int_{a}^{b} R(x,s;\lambda) f(s)\, ds,\tag{10}$$где

$$R(x, s ; \lambda)=D\left(x, s; \lambda\right) / D(\lambda),\tag{11}$$

$$D(\lambda)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m !} A_{m} \lambda^{m},\tag{12}$$

$$D(x, s ; \lambda)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m !} B_{m}(x, s) \lambda^{m},\tag{13}$$

$$A_{m}=\int_{a}^{b} \ldots \int_{a}^{b} K\begin{pmatrix}s_{1},&s_{2},&\ldots,&s_{m} \\ s_{1},  &s_{2}, &\ldots, &s_{m}\end{pmatrix}\,d s_{1} \ldots\,d s_{m},\tag{14}$$

$$B_{m}(x, s)=\int_{a}^{b} \ldots \int_{a}^{b} K\begin{pmatrix}x,&s_{1},&\ldots,&s_{m} \\ s,&s_{1},& \ldots,&s_{m}\end{pmatrix} d s_{1} \ldots d s_{m},\tag{15}$$

$$K\begin{pmatrix}x_{1}, & x_{2}, & \ldots,& x_{n} \\ s_{1}, & s_{2}, & \ldots,& s_{n}\end{pmatrix} =\begin{vmatrix}K(x_{1},s_{1})& K(x_{1},s_{2})&\ldots& K(x_{1},s_{n}) \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ K(x_{n}, s_{1})& K(x_{n}, s_{2})&\ldots &K(x_{n}, s_{n})\end{vmatrix}.$$Для вычисления $A_{m}$ и $B_{n}(x, s)$ вместо формул (14), (15) можно воспользоваться следующими рекуррентными соотношениями:

$$\begin{gathered} A_{0}=1, \quad B_{0}(x, s)=K(x, s),\quad A_{m}=\int_{a}^{b} B_{m-1}(s, s)\,d s, \\ B_{m}(x, s)=K(x, s) A_{m}-m \int_{a}^{b} K(x, t) B_{m-1}(t, s)\,d t,\\ m=1,2,\dots. \end{gathered}$$Ряды (12) и (13) называются рядами Фредгольма. Функцию $D(\lambda)$ называют определителем Фредгольма ядра $K$, Функцию $D(x,s;\lambda)$ – первым минором Фредгольма для $D(\lambda)$, a функцию (11) – резольвентой (или разрешающим ядром, или взаимным ядром) ядра $K$ (или уравнения $(1)$).

Обоснование упомянутых выше предельных переходов, которые приводят к формуле (10), было сделано Д. Гильбертом. Э. Фредгольм, построив формально ряды (12), (13), затем непосредственно строго доказал, что они сходятся для всех конечных значений параметра $\lambda$, a ряд (13), кроме того, сходится равномерно по $x$ и $s$ на квадрате $[a, b]\times[a, b]$. Установление связи между функциями $D(\lambda)$ и $D\left(x_{+} ; \lambda\right)$ позволило ему доказать следующее предложение: если $D(\lambda) \neq 0$, то уравнение (1) имеет одно и только одно решение, которое выражается формулой (10).

Из этого предложения вытекает, что значение параметра $\lambda$, которое не является корнем определителя Фредгольма, есть регулярное значение для однородного уравнения, соответствующего уравнению (1):

$$\varphi(x)-\lambda \int_{a}^{b} K(x, s) \varphi(s) d s=0, \quad x \in[a, b],\tag{1a}$$т. е. это уравнение в рассматриваемом случае имеет лишь нулевое решение. Если $\lambda$ – корень уравнения $D(\lambda)=0$, то $\lambda$ есть полюс резольвенты (11) уравнения $(1a)$ и характеристическое число этого последнего уравнения. Чтобы построить по методу Фредгольма собственные функции, принадлежащие этому характеристическому числу, вводится понятие $p$-го минора $D(\lambda)$. Пусть

$$B_{0}\begin{pmatrix} x_{1},& \ldots,& x_p \\ s_{1}, &\ldots,& s_{p} \end{pmatrix}=K\begin{pmatrix} x_{1},& \ldots,& x_{p} \\ s_{1},& \ldots,& s_{p} \end{pmatrix},$$

$$\displaystyle B_{m}\begin{pmatrix} x_{1},& \ldots,& x_{p} \\ s_{1},& \ldots, &s_{p} \end{pmatrix}=\int_{a}^{b} \dots \int_{a}^{b} K\begin{pmatrix} x_{1},& \ldots,& x_{p},& t_{1}, &\ldots, &t_{m} \\ s_{1},& \ldots,& s_{p},& t_{1}, &\ldots,& t_{m} \end{pmatrix}\,d t_{1} \ldots\,d t_{m}.$$Toгда $p$-м минором для $D(\lambda)$ называется ряд

$$D\left(\begin{matrix} x_{1},&\ldots,& x_p\\ s_{1},& \ldots,& s_{p} \end{matrix};\lambda\right) =\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m !} B_{m}\begin{pmatrix} x_{1},& \ldots,& x_{p} \\ s_{1},& \ldots, &s_{p} \end{pmatrix}\lambda^{m+p}, \tag{16}$$который при $p=1$ обращается в $D(x,s;\lambda)$. Ряд (16) сходится абсолютно для всех конечных значений $\lambda$ и равномерно относительно $x_{1}, \ldots, x_{p}$, $s_{1}, \ldots, s_{p}$, удовлетворяющих неравенствам $a \leqslant x_{n} \leqslant b$, $a \leqslant s_{n} \leqslant b$, $k=1, \ldots, p$. Пусть теперь $\lambda_{0}$ есть характеристическое число ядра $K$; $D\left(\lambda_{0}\right)=0$, $\lambda_{0} \neq 0$, так как $D(0)=1$. Пусть $r$ – кратность корня $\lambda_{0}$ уравнения $D\left(\lambda_{0}\right)=0$. Существует такое натуральное число $q \leqslant r$, что все миноры для $D\left(\lambda_{0}\right)$, порядок которых меньше $q$, тождественно равны нулю, а минор порядка $q$ отличен от нуля. Существует некоторая совокупность значений $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{q}^{\prime}, s_{1}^{\prime}, \ldots, s_{q}^{\prime}$, таких, что

$$D\left(\begin{matrix} x_{1}^{\prime},&\ldots,&x_{q}^{\prime} \\ s_{1}^{\prime},&\ldots,&s_{q}^{\prime}\end{matrix}; \lambda_{0} \right) \neq 0.$$Число $g$ называется рангом характеристического числа $\lambda_{0}$. Функции

$$\varphi_{k}(x)=\frac{D\left(\begin{matrix} x_{1}^{\prime},&\ldots,&x_{k-1}^{\prime},&x, &x_{k+1}',&\dots,&x_q' \\ s_{1}^{\prime},&\ldots,&s_{k-1}^{\prime},&s_{k}^{\prime}, &s_{k+1}^{\prime},&\ldots,&s_{q}^{\prime} \end{matrix}; \lambda_{0}\right)} {D\left(\begin{matrix} x_{1}^{\prime},&\ldots,&x_{q}^{\prime} \\ s_{1}^{\prime},&\ldots,&s_{q}^{\prime}\end{matrix}; \lambda_{0} \right)}\tag{17}$$являются линейно независимыми решениями уравнения ($1_0$).

Пусть характеристическому числу $\lambda_0$ принадлежат собственные функции $\varphi_{1},\dots,\varphi_q$. Эти функции называются полной системой собственных функций уравнения $\left(1а\right)$ (или ядра $K$), принадлежащих числу $\lambda_{0}$, если любая другая собственная функция, принадлежащая этому числу, есть линейная комбинация функций $\varphi_{1},\dots, \varphi_{q}$.

Если $\lambda_{0}$ является характеристическим числом однородного уравнения $\left(1_{0}\right)$ с paнгом $q$, то оно будет также собственным значением с рангом $q$ и для союзного с $(1а)$ уравнения

$$\psi(x)-\lambda_{0} \int_{a}^{b} K(s, x) \psi(s)\,d s=0, \tag{1b}$$причём полная система собственных функций уравнения $(1а)$ определяется формулами (17), а для уравнения $\left(1\rm{b}\right)$– аналогичными формулами, построенными для союзного ядра $K(s, x)$.

Если $\lambda_{0}$ – характеристическое число ядра $K$ с рангом $q$, то уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда удовлетворяются условия:

$$\int_{a}^{b} f(t) \psi_{k}(t) d t=0, \quad k=1,2, \ldots, q,\tag{18}$$где $\psi_{1}, \ldots, \psi_{q}$ составляют полную систему собственных функций уравнения $(1\rm{b})$. Если условия (18) выполняются, то все решения уравнения (1) определяются формулой

$$\displaystyle\varphi(x)=f(x)+\int_{a}^{b} H(x, s) f(s) d s+\sum_{k=1}^{q} c_{k} \varphi_{k}(x),$$где $c_{1}, \ldots, c_{q}$ – произвольные постоянные, $\left\{\varphi_{k}\right\}$ – полная система собственных функций однородного уравнения $\left(1_{0}\right)$, а функция $H$ определяется равенством

$$H(x, s)=\frac{D\left(\begin{matrix} x,&x_{1}^{\prime},&\ldots,&x_{q}^{\prime} \\ s,&s_{1}^{\prime},&\ldots,&s_{q}^{\prime} \end{matrix} ; \lambda_{0}\right)} {D\left(\begin{matrix} x_{1}^{\prime},&\ldots,&x_{q}^{\prime} \\ s_{1}^{\prime},&\ldots,&s_{q}^{\prime} \end{matrix} ; \lambda_{0}\right)}.$$Непрерывное ядро $K$ имеет не более счётного множества характеристических чисел, которые могут иметь предельную точку только при $\lambda=\infty$.

Сформулированные выше предложения для уравнения (1) называются теоремами Фредгольма. Эти теоремы Э. Фредгольм распространил на случай системы таких же уравнений, a также на случай одного класса ядер со слабой особенностью.

Из сопоставления теорем вытекает альтернатива Фредгольма.

Часто в теоремах Фредгольма вместо союзного уравнения $\left(1\rm{b}\right)$ рассматривают сопряжённое с (1) уравнение

$$\displaystyle\psi(x)-\bar{\lambda}_{0} \int_{a}^{b} \overline{K(s, x)} \psi(s)\,d s=0.$$В этом случае условия (18) заменяются условиями

$$\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \overline{\psi_{k}(t)}\,d t=0, \quad k=1, \ldots, q.$$Изложенный выше метод Фредгольма был обобщён Т. Карлеманом на случай, когда $f$, $\varphi$, $K$ в уравнении (1) предполагаются интегрируемыми с квадратом функциями. В этих предположениях справедливы сформулированные выше результаты Фредгольма.

Кроме метода последовательных приближений и метода Фредгольма для решения уравнения Фредгольма, Э. Шмидт под влиянием исследований Д. Гильберта разработал метод, основой которого является построение, независимо от теории Фредгольма, теории уравнения (1) с симметричным действительным ядром.

Исследования Д. Гильберта и Э. Шмидта подготовили почву для абстрактного изложения теории Фредгольма. Д. Гильберт обратил внимание на то, что теория Фредгольма в основном опирается на свойство т. н. полной непрерывности интегрального преобразования с ядром $K$. Это свойство Д. Гильберт сформулировал для билинейных форм. Ф. Pиcc (Рисс. 1936) показал, что основные результаты теории Фредгольма остаются в силе, если в уравнении (1) интегральный оператор заменить произвольным вполне непрерывным оператором, действующим в полном функциональном пространстве. Исследования Ф. Рисса были пополнены Ю. Шаудером (Schauder. 1930) с помощью введения понятия сопряжённого оператора в банаховом пространстве, что и дало возможность окончательной абстрактной формулировки в пространствах Банаха аналогов теорем Фредгольма. Эти теоремы часто называют теоремами Рисса – Шаудера. Оператор $V$, участвующий в нижеприведённых формулировках этих теорем, предполагается действующим в банаховом пространстве $E$; через $E^*$ обозначено банахово пространство, сопряжённое с $E$, а через $V^*$ – сопряжённый оператор.

Теорема 1. Однородное уравнение

$$\varphi-V \varphi=0, \quad \varphi \in E,\tag{19}$$и сопряжённое с ним уравнение

$$\psi-V^{*} \psi=0, \quad \psi \in E^{*}, \tag{20}$$имеют лишь нулевые решения или одинаковое конечное число линейно независимых решений $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{q}$, $\psi_{1}, \ldots,\psi_{q}$.

Теорема 2. Для разрешимости неоднородного уравнения

$$\Phi-\lambda V \varphi=f, \quad f, \varphi \in E,\tag{21}$$необходимо и достаточно, чтобы $\varphi_{k}(f)=0$,  $k=1,2, \ldots, q$; если эти условия выполнены и $\varphi_{0}$ – какое-либо решение уравнения (21), то его общее решение имеет вид

$$\displaystyle \varphi_{0}+\sum_{k=1}^{q} c_{k} \varphi_{k},$$где $c_{k}$ – произвольные постоянные.

Теорема 3. Каково бы ни было $r \neq 0$, круг $|\lambda| \leqslant r$содержит разве лишь конечное число характеристических значений оператора $V$, т. е. значений $\lambda$, для которых уравнение $\varphi-\lambda V=0$ имеет отличные от нуля решения.

Эти теоремы дают возможность обосновать справедливость теорем Фредгольма для уравнения (1) в случае различных конкретных классов интегрального оператора (2). Например, если заданные и искомая функции интегрируемы с квадратом.

В качестве области интегрирования вместо отрезка $[a, b]$ в уравнении (1) можно рассматривать некоторое ограниченное или неограниченное измеримое множество $D$ в пространстве любого числа измерений. Вместо обычного интеграла можно брать интеграл Стилтьеса относительно неотрицательной меры.