Интегра́л Бёркиля, понятие, введённое Дж. Бёркилем (Burkill. Functions of intervals. 1924; The expression of area as an integral. 1924) для определения площади поверхности. В современном виде интеграл Бёркиля вводится для интегрирования неаддитивной функции $F(J)$ $n$-мерного сегмента (бруса). Пусть $R$ есть множество, представимое в виде суммы (объединения) конечного числа сегментов (такое множество называется фигурой). Каждое представление $\displaystyle R=\bigcup J_k$ называется разбиением фигуры $R$. Верхним интегралом Бёркиля и нижним интегралом Бёркиля от функции сегмента $F(J)$ по фигуре $R$ называют соответственно верхний и нижний пределы сумм $\displaystyle\sum_kF(J_k)$ для всевозможных разбиений при стремлении к нулю максимума диаметров сегментов, входящих в разбиение. Если эти интегралы равны, то их общее значение называется интегралом Бёркиля от функции $F$ по $R$ и обозначается $\displaystyle\int_RF$. Если $F$ интегрируема на $R$, то $F$ интегрируема на каждой фигуре $R_1\subset R$. Тем самым вводится неопределённый интеграл Бёркиля, который является аддитивной функцией множества. Если $F$ непрерывна, то и неопределённый интеграл Бёркиля непрерывен.

Понятие интеграла Бёркиля может быть обобщено на случай функции множества, определённой на некотором классе подмножеств абстрактного пространства с мерой. Этот класс должен удовлетворять ряду требований; в частности, каждое множество из данного класса должно допускать разбиение на составляющие множества из того же класса, имеющие произвольно малые меры. Тогда для любого множества из класса определяется интеграл Бёркиля по аналогии с $n$-мерным случаем, причём соответствующие пределы берутся при стремлении к нулю максимума мер составляющих множеств. Интеграл Бёркиля естественным образом обобщается на функции множества со значениями в коммутативной топологической группе. Интеграл Бёркиля является менее общим, чем введённый позднее интеграл Колмогорова, называемый также интегралом Бёркиля – Колмогорова. Всякая интегрируемая по Бёркилю функция интегрируема по Колмогорову при соответствующем упорядочении разбиений. Обратное верно лишь при некоторых дополнительных условиях. Интеграл Бёркиля используется для построения интеграла Данжуа в различных пространствах.

Интегралом Бёркиля называют также ряд введённых Дж. Бёркилем обобщений интеграла Перрона (AP-интеграл, CP-интеграл, SCP-интеграл), в определении которых вместо обычных производных чисел используются некоторые обобщённые производные числа. Эти интегралы Бёркиля находят применение в теории тригонометрических рядов.