Интегра́л Данжуа́, 1) узкий (специальный) интеграл Данжуа – обобщение понятия интеграла Лебега. Функция $f(x)$ называется интегрируемой в смысле узкого (специального, $D^*$) интеграла Данжуа на $[a,b]$, если существует такая непрерывная функция $F(x)$ на $[a,b]$, что $F'(x)=f(x)$ почти всюду, и каково бы ни было совершенное множество $P$, существует порция $P$, на которой $F(x)$ абсолютно непрерывна и

$$\sum_n\omega(F;(\alpha_n,\beta_n))<\infty,$$где $\{(\alpha_n,\beta_n)\}$ – совокупность смежных интервалов к порции $P$, $\omega(F;(\alpha_n,\beta_n))$ – колебание $F(x)$ на $(\alpha,\beta)$; при этом

$$(D^*)\int\limits_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).$$Такое обобщение интеграла Лебега ввёл А. Данжуа (Denjoy. 1912, 1912); он показал, что этот интеграл восстанавливает функцию по её точной конечной производной. Интеграл $D^*$ эквивалентен интегралу Перрона.

2) Широкий (общий) интеграл Данжуа – обобщение понятия узкого интеграла Данжуа. Функция $f(x)$ называется интегрируемой в смысле широкого (общего, $D$) интеграла Данжуа на $[a,b]$, если существует такая непрерывная функция $F(x)$ на $[a,b]$, что её аппроксимативная производная почти всюду равна $f(x)$, и каково бы ни было совершенное множество $P$, существует порция $P$, на которой $F(x)$ абсолютно непрерывна; при этом

$$(D)\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a).$$Введён независимо и почти одновременно А. Данжуа (Denjoy. 1916) и А. Я. Хинчиным (Khintchin. 1916.; Хинчин. 1918). Интеграл $D$ восстанавливает непрерывную функцию по её точной конечной аппроксимативной производной.

3) Тотализация $(T_{2S})_0$ представляет собой конструктивно определённый интеграл для решения задачи построения такого обобщения интеграла Лебега, которое позволило бы всякий всюду сходящийся тригонометрический ряд рассматривать в качестве ряда Фурье (по этому интегралу). Введена А. Данжуа (Denjoy. 1941–1949).

4) Тотализация $(T_{2S})$ отличается от тотализации $(T_{2S})_0$ тем, что при определении тотализации $(T_{2S})_0$ обычный предел заменён на аппроксимативный. Для тотализации $(T_{2S})$ А. Данжуа (Denjoy. 1941–1949) дал и дескриптивное определение.

О взаимосвязях тотализаций $(T_{2S})_0$ и $(T_{2S})$ с другими интегралами см. Виноградова. 1971.