Гру́ппа Ве́йля, 1) группа Вейля симметрий корневой системы. В зависимости от конкретной реализации корневой системы рассматривают и различные группы Вейля; так возникают группы Вейля полупростой расщепляемой алгебры Ли, группы Вейля симметрического пространства, группы Вейля алгебраической группы.

Пусть $G$ – связная аффинная алгебраическая группа, определённая над алгебраически замкнутым полем $k$. Группой Вейля группы $G$ относительно тора $T \subset G$ называется факторгруппа

$$W(T, G)=N_G(T) / Z_G(T),$$рассматриваемая как группа автоморфизмов тора $T$, индуцированных сопряжениями $T$ с помощью $N_G(T)$. Здесь $N_G(T)$ – нормализатор, а $Z_G(T)$ – централизатор подгруппы $T$ в $G$. Группа $W(T, G)$ конечна. Если $T_0$ – максимальный тор, то $W\left(T_0 G\right)$ называется группой Вейля $W(G)$ алгебраической группы $G$. Это определение (с точностью до изоморфизма) не зависит от выбора максимального тора $T_0$. Действие c помощью сопряжений группы $N_G\left(T_0\right)$ на множестве $B^{T_0}$ подгрупп Бореля в $G$, содержащих $T_0$, индуцирует просто транзитивное действие $W\left(T_0, G\right)$ на $B^{T_0}$. Действие $T$ на $G$ сопряжениями индуцирует присоединённое действие $T$ на алгебре Ли $\frak g$ группы $G$. Пусть $\Phi(T, {G})$ – множество ненулевых весов весового разложения $\frak g$ относительно этого действия, т. е. $\Phi(T, G)$ – корневая система $\frak g$ относительно $T$ (см. Вес представления). $\Phi(T, G)$ является подмножеством в группе $X(T)$ рациональных характеров тора $T$, причём $\Phi(T, G)$ инвариантно относительно действия $W(T, G)$ на $X(T)$.

Пусть $G$ – редуктивная группа, $Z(G)^0$ – связная компонента единицы её центра и $T_0$ – максимальный тор. Векторное пространство

$$X\left(T_0 / Z(G)^0\right)_{\mathbb{Q}}=X\left(T_0 / Z(G)^0\right) \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$$канонически отождествляется с подпространством в векторном пространстве

$$X\left(T_0\right)_{\mathbb{Q}}=X\left(T_0\right) \otimes_{\mathbb{Z}}{\mathbb{Q}}.$$Множество $\Phi\left(T_0, G\right)$ [как подмножество в $X\left(T_0\right)_{\mathbb{Q}}$] является приведённой системой корней в $X\left(T_0 / Z(G)^0\right)^{\mathbb{Q}}$, причём естественное действие $W\left(T_0, G\right)$ на $X\left(T_0\right)_{\mathbb{Q}}$ определяет изоморфизм $W\left(T_0, G\right)$ с группой Вейля корневой системы $\Phi\left(T_0, G\right)$. Таким образом, $W\left(T_0, G\right)$ обладает всеми свойствами группы Вейля приведённой корневой системы, например она порождается отражениями.

Как обобщение этой ситуации возникает группа Вейля системы Титса.

Группа Вейля $W$ конечномерной редуктивной алгебры Ли $\frak g$ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики определяется как группа Вейля её присоединённой группы. Присоединённое действие $W$ в подалгебре Картана $\frak P$ алгебры $\frak g$ является точным представлением $W$; группу $W$ часто отождествляют с образом этого представления, рассматривая её как соответствующую линейную группу в $\frak P$, порождённую отражениями. Понятие «группа Вейля» впервые появилось в работе Г. Вейля (Weyl. 1925) для частного случая рассматриваемых здесь алгебр – для конечномерной полупростой алгебры Ли над полем комплексных чисел. Группа Вейля может быть определена и для любой расщепляемой полупростой конечномерной алгебры Ли как группа Вейля её корневой системы.

Для аффинной алгебраической группы $G$, определённой над алгебраически незамкнутым полем, может быть определена относительная группа Вейля. А именно, если $T$ – максимальный разложимый над $k$ тор группы $G$, то факторгруппа $N_G(T)/ Z_G(T)$ (нормализатора тора $T$ по его централизатору в $G$), рассматриваемая как группа автоморфизмов $T$, индуцированных сопряжениями $T$ с помощью элементов из $N_G(T)$, называется относительной группой Вейля группы $G$.

Группа Вейля действительной связной некомпактной полупростой алгебраической группы совпадает с группой Вейля соответствующего симметрического пространства. Об аффинной группе Вейля см. Корневая система.

2) Группа Вейля компактной связной группы Ли $G$, факторгруппа $W=N/T$, где $N$ – нормализатор в $G$ некоторого максимального тора $T$ группы $G$. Группа Вейля изоморфна некоторой конечной группе линейных преобразований алгебры Ли $t$ группы $T$ (изоморфизм осуществляется с помощью присоединённого представления $N$ в $t$) и может быть охарактеризована с помощью корневой системы $\Delta$ алгебры Ли $g$ группы $G$ (относительно $t$), а именно: если $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ – система простых корней алгебры, являющихся линейными формами на действительном векторном пространстве $t$, то группа Вейля порождается отражениями в гиперплоскостях $\alpha_i(x)=0$. Таким образом, $W$ является группой Вейля системы $\Delta$ (как линейная группа в $t$). $W$ просто транзитивно действует на множестве всех камер системы $\Delta$ (называемых в данном случае камерами Вейля). Следует отметить, что $N$ не является, вообще говоря, полупрямым произведением $W$ и $T$; все случаи, когда это так, изучены. Группа Вейля группы $G$ изоморфна группе Вейля соответствующей комплексной полупростой алгебраической группы $G_{\mathbb{C}}$ (см. Комплексификация группы Ли).