Комплексифика́ция гру́ппы Ли $G$ над $\mathbb{R}$, комплексная группа Ли $G_{\mathbb{C}}$, содержащая $G$ в качестве вещественной подгруппы Ли и такая, что алгебра Ли $\mathfrak{G}$ группы $G$ является вещественной формой алгебры Ли $\mathfrak{G}_{\mathbb{C}}$ группы $G_{\mathbb{C}}$ (см. Комплексификация алгебры Ли). Группа $G$ при этом называется вещественной формой группы Ли $G_{\mathbb{C}}$. Например, группа $U(n)$ всех унитарных матриц порядка $n$ является вещественной формой группы $G L(n, \mathbb{C})$ всех невырожденных матриц порядка $n$ с комплексными элементами.

Имеется взаимно однозначное соответствие между комплексно аналитическими линейными представлениями связной односвязной комплексной группы Ли $G_{\mathbb{C}}$ и вещественно аналитическими представлениями её связной вещественной формы $G$, при котором неприводимым представлениям соответствуют неприводимые. Это соответствие устанавливается следующим образом: если $\rho$ – (неприводимое) конечномерное комплексно аналитическое представление группы $G_{\mathbb{C}}$, то ограничение $\rho$ на $G$ является (неприводимым) вещественно аналитическим представлением группы $G$.

Не всякая вещественная группа Ли обладает комплексификацией. В частности, связная полупростая группа Ли $G$ обладает комплексификацией тогда и только тогда, когда $G$ линейна, т. е. изоморфна подгруппе некоторой группы $G L(n, \mathbb{C})$. Например, универсальная накрывающая группы вещественных матриц 2-го порядка с определителем $1$ не имеет комплексификации. Однако всякая компактная группа Ли комплексификацией обладает.

Отсутствие комплексификации у некоторых вещественных групп Ли инспирировало введение более общего понятия – универсальной комплексификации $(\widetilde{G}, \tau)$ вещественной группы Ли $G$. Здесь $\widetilde{G}$ – комплексная группа Ли, $\tau: G \rightarrow \widetilde{G}$ – вещественно аналитический гомоморфизм такой, что для любой комплексной группы Ли $H$ и любого вещественно аналитического гомоморфизма $\alpha: G \rightarrow H$ существует единственный комплексно аналитический гомоморфизм $\beta: \widetilde{G} \rightarrow H$, для которого $\alpha=\beta \circ \tau$. Универсальная комплексификация группы Ли всегда существует и определена однозначно (Бурбаки. 1976). Однозначность означает, что если $(\widetilde{G^{\prime}}, \tau^{\prime})$ – другая универсальная комплексификация группы Ли $G$, то существует единственный изоморфизм $\lambda: \widetilde{G} \rightarrow \widetilde{G}^{\prime}$, для которого $\lambda \circ \tau=\tau^{\prime}$. В общем случае $\operatorname{dim}_{\mathbb{C}} \widetilde{G} \leqslant \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} G$, если же $G$ односвязна, то $\operatorname{dim}_{\mathbb{C}} \widetilde{G}=\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} G$ и ядро гомоморфизма $\tau$ дискретно.

См. также Форма группы Ли.