Дифференциа́льное уравне́ние с ча́стными произво́дными (вариацио́нные ме́тоды реше́ния), методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными при помощи сведения этих задач (когда это возможно) к соответствующим образом подобранным вариационным задачам (т. е. к задачам на отыскание минимума или максимума некоторого функционала) и решения последних.

Вариационные методы широко применяются как в теоретических исследованиях (для доказательства теорем существования, единственности и устойчивости решений, при исследовании дифференциальных свойств решений, в спектральной теории, при изучении разнообразных вопросов оптимизации и т. д.), так и в вопросах, связанных с нахождением приближённых решений уравнений. Приближённые решения вариационных задач можно находить при помощи решения конечных систем алгебраических уравнений, при этом алгоритмы нахождения приближённых решений вариационных задач часто оказываются проще и удобнее, чем имеющиеся алгоритмы решения соответствующих задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Вариационный метод исследования краевых задач возник в середине 19 в. в виде т. н. принципа Дирихле отыскания в области $G$ гармонической функции, принимающей на границе $\partial G$ области $G$ данное значение $\varphi(x)$, $x \in \partial G$, как функции, дающей в рассматриваемом классе функций минимум интегралу Дирихле. Первоначально принцип Дирихле применялся лишь в теории линейных эллиптических уравнений $2$-го порядка (впоследствии и более высоких порядков), а затем и в теории уравнений других типов, причём не только линейных, но и нелинейных. Разработке вариационных методов были посвящены работы Б. Римана, К. Вейерштрасса, Д. Гильберта. Большую роль в развитии вариационных методов, в частности в вопросе их обоснования, сыграли теоремы вложения и их обобщения.

Одним из простых и типичных примеров использования вариационных методов является решение задачи Дирихле для эллиптического самосопряжённого уравнения $2$-го порядка
$$\tag{1} A u+c u=0,$$где $c=c(x) \geqslant 0$,
$$\tag{2} u|_{\partial G}=\varphi,$$
$$\tag{3} \begin{gathered} A u=-\sum_{i, j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\left[a_{i j}(x) \frac{\partial u}{\partial x_j}\right], \\ x=\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in G \end{gathered}$$($G$ – область конечномерного евклидова пространства, $\partial G$ – её граница, $\varphi$ – заданная на $\partial G$ функция), и существует постоянная $\varkappa>0$ такая, что для всех точек $x \in G$ и всех чисел $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$ выполняется неравенство (условие эллиптичности)

$$\sum_{i, j=1}^n a_{i j}(x) \xi_i \xi_j \geqslant \varkappa \sum_{i=1}^n \xi_i^2 .$$В этом случае вариационный метод решения задачи $(1)$–$(2)$ состоит в отыскании функции $u(x)$, для которой функционал

$$K(u)=\int_G\left[\sum_{i, j=1}^n a_{i j}(x) \frac{\partial u}{\partial x_i} \frac{\partial u}{\partial x_j}+c u^2\right] d x$$[уравнение $(1)$ является уравнением Эйлера для функционала $K(u)$] принимает наименьшее значение в классе допустимых функций, т. е. таких функций $u(x)$, для которых $K(u)<+\infty$, и выполняется граничное условие $(2)$. Вариационный метод применим только тогда, когда класс допустимых функций не пуст. Условия, которым должна удовлетворять заданная на границе функция $\varphi$ для того, чтобы класс допустимых функций был не пуст, даются теоремами вложения. Функция $u(x)$, для которой функционал $K(u)$ принимает наименьшее значение в классе допустимых функций, является обобщённым решением задачи $(1)$–$(2)$ [см. в статье Дифференциальное уравнение с частными производными (функциональные методы решения)] и, например, в классическом случае непрерывной дифференцируемости коэффициентов $a_{i j}(x)$ оператора $(3)$ – обычным решением этой задачи.

Другим типичным примером использования вариационных методов является их применение к отысканию собственных значений и собственных функций оператора $(3)$.

Функция, дающая минимум некоторому функционалу, может быть получена как предел т. н. минимизирующей последовательности, т. е. последовательности функций, значения функционала на членах которой стремятся к указанному минимуму. Для построения минимизирующих последовательностей и установления скорости их сходимости разработаны специальные методы (например, метод Pитца).