Чёрная дыра Керра – Ньюмана

Чёрная дыра́ Ке́рра – Нью́мана (вращающаяся заряженная чёрная дыра), геометрический объект (пространство-время), соответствующий решению уравнений Эйнштейна при наличии массы $M,$ электрического заряда $q$ и момента импульса $L,$ которые сконцентрированы в сингулярности пространства-времени. Сингулярность расположена в центральной области чёрной дыры и имеет форму кольца (центр чёрной дыры в системе координат удалённого наблюдателя соответствует диску в экваториальной плоскости чёрной дыры, а сингулярность – граница этого диска).

В зависимости от соотношения параметров $M,$ $L$ и $q$ сингулярность может быть окружена либо двумя горизонтами событий (внутренним и внешним), либо одним. Кроме того, возможно такое соотношение параметров, при котором горизонтов событий нет, т. е. решение представляет собой «голую» сингулярность, а не чёрную дыру. При наличии хотя бы одного горизонта событий удалённый наблюдатель фиксирует многие из эффектов в окрестности внешнего горизонта, аналогичные эффектам для чёрной дыры Шварцшильда и других чёрных дыр.

Данное решение получено в 1965 г. большим коллективом авторов во главе с Э. Ньюманом. Оно, с одной стороны, обобщает решение Райсснера – Нордстрёма добавлением момента импульса, с другой стороны, обобщает решение Керра добавлением электрического заряда. Но качественно свойства чёрной дыры Керра – Ньюмана ближе к свойствам чёрной дыры Керра. Для стабильной чёрной дыры масса $M,$ электрический заряд $q$ и момент импульса $L$ – это максимальное число параметров, физические значения которых могут быть измерены внешним наблюдателем (т. н. «теорема об отсутствии волос у чёрной дыры», Дж. Уилер).

Метрика Керра – Ньюмана и горизонты событий

Все свойства чёрной дыры Керра – Ньюмана определяются метрикой соответствующего пространства-времени (называемой метрикой Керра – Ньюмана), которая является точным решением уравнений Эйнштейна. В этом пространстве-времени квадрат четырёхмерного интервала $ds$ между двумя бесконечно близкими событиями в упрощённом виде имеет следующий вид (точную запись см. в: Мизнер. 1977. С. 86):

$ds^2=g_{tt}(r,\theta)\,c^2dt^2+g_{rr}(r,\theta)\,dr^2+g_{\theta\theta}(r,\theta)\,d\theta^2+g_{\varphi\varphi}(r,\theta)\,d\varphi^2+2g_{t\varphi}(r,\theta)\,dtd\varphi.$Здесь $r,\ θ,\ φ$ – соответственно радиальная и две угловые пространственные координаты; $t$ – временна́я координата (собственное время удалённого на бесконечность наблюдателя); $c$ – скорость света в вакууме; $g_{tt},$ $g_{rr},$ $g_{\theta\theta},$ $g_{\varphi\varphi},$ $g_{t\varphi}$ – компоненты метрического тензора (метрические коэффициенты), которые помимо пространственных координат $r$ и $θ$ зависят также от массы $M,$ электрического заряда $q$ и момента импульса $L.$ Координаты $(t,r,θ,φ)$ выбираются таким образом, чтобы описание гравитационного поля чёрной дыры на достаточно большом удалении от неё соответствовало закону всемирного тяготения Ньютона, записанному в сферической системе координат. Перекрёстный член $2g_{t\varphi}(r,\theta)\,dtd\varphi$ в силу наличия вращения (момента импульса $L$) не может быть исключён никаким преобразованием координат. Метрика Керра – Ньюмана также позволяет определить радиальные координаты внутреннего и внешнего горизонтов событий – соответственно $r_-$ и $r_+.$

Для оценки соотношений между массой $M,$ электрическим зарядом $q$ и моментом импульса $L$ чёрной дыры Керра – Ньюмана используются величины с размерностью длины: гравитационный радиус $r_g\!=\!2GM/c^2$ (где $G$ – гравитационная постоянная), параметр заряда $Q\!=\!q\sqrt{Gk}/c^2$ (где $k$ – постоянная, входящая в закон Кулона) и параметр момента импульса $a\!=\!L/Mc.$

В случае $Q\!=\!a\!=\!0$ чёрная дыра Керра – Ньюмана становится чёрной дырой Шварцшильда с единственным (внешним) горизонтом событий: $r_+\!=\!r_g,$ $r_-\!=\!0.$

При возникновении момента импульса и (или) электрического заряда появляется внутренний горизонт событий с радиальной координатой

$$r_-=\frac{r_g}2-\sqrt{\left(\frac{r_g}2\right)^2-Q^2-a^2},$$окружающий сингулярность, а внешний горизонт событий становится меньше $r_g,$ его радиальная координата определяется выражением$$r_-=\frac{r_g}2+\sqrt{\left(\frac{r_g}2\right)^2-Q^2-a^2}.$$С ростом и $a,$ и $Q$ внутренний горизонт событий увеличивается, а внешний – уменьшается. При $Q^2\!+\!a^2\!=\!(r_g/2)^2$ два горизонта сливаются в один, с координатой $r_-\!=\!r_+\!=\!r_g/2.$

При $Q^2\!+\!a^2\!>\!(r_g/2)^2$ горизонты событий исчезают и чёрная дыра превращается в «голую» сингулярность. Однако существует принцип космической цензуры (пока не доказанный), согласно которому в нашей Вселенной не должно существовать «голых» сингулярностей.

Любая поверхность $t\!=\!{\rm const},$ $r\!=\!{\rm const},$ включая горизонты событий, в пространстве-времени, описываемом метрикой Керра – Ньюмана, является софокусным эллипсоидом (сфероидом), а не сферой. При $r\!=\!0$ сфероиды $r\!=\!{\rm const}$ вырождаются в диск радиусом $a,$ граница которого и является кольцевой сингулярностью пространства-времени.

Замедление времени на горизонте событий и свободное падение в чёрную дыру

Пусть вдоль радиальной координаты $r$ снаружи внешнего горизонта событий $r\!=\!r_+$ расположено множество неподвижных наблюдателей. Все наблюдатели оснащены одинаковыми собственными часами, которые для каждого из них идут одинаково (но в сравнении друг с другом их время может течь по-разному). Для наблюдателя на бесконечности (при бесконечном $r$) его собственное время (показание его собственных часов) совпадает с координатным временем $t.$ Регистрируемые им показания часов $τ$ других наблюдателей, более близких к горизонту событий $r\!=\!r_+,$ будут меньше его собственных показаний: $\tau\!<\!t,$ причём чем ближе к горизонту событий часы, тем меньше их показания $\tau.$ Другими словами, для удалённого наблюдателя чем часы ближе к внешнему горизонту событий чёрной дыры, тем медленнее они идут. Это относится не только к часам, но и ко всем наблюдаемым процессам. Все процессы, происходящие на горизонте событий, для удалённого наблюдателя должны «застыть».

Из этого эффекта следует, что с точки зрения удалённого наблюдателя другой наблюдатель, свободно падающий в чёрную дыру, никогда не достигнет горизонта событий. Однако в собственной системе отсчёта свободно падающего наблюдателя он сможет достигнуть внешнего горизонта событий и беспрепятственно пересечь его. После этого покинуть чёрную дыру для него станет невозможно, поскольку гравитационное притяжение в окрестностях горизонта событий становится экстремально сильным. Под горизонтами событий наблюдатели могут как попасть в сингулярность, так и избежать её и уйти в другие вселенные.

Лучи света, проходящие вблизи чёрной дыры, отклоняются от прямой линии; чем ближе к горизонту событий проходит луч, тем больше угол отклонения. Как и в случае с чёрной дырой Шварцшильда, на определённом расстоянии от горизонта событий луч света может развернуться и уйти в обратном направлении. При дальнейшем уменьшении расстояния луч света может обогнуть чёрную дыру (возможно, многократно) и уйти либо на бесконечность, либо под горизонт событий. Если луч распространяется в экваториальной плоскости чёрной дыры, то для него существуют две замкнутые круговые орбиты (в зависимости от направления распространения света по отношению к вращению дыры). Эти траектории луча называются фотонными орбитами, они неустойчивы: после любого возмущения луч либо покинет чёрную дыру, либо «упадёт» в неё.

С эффектом замедления времени также связан эффект гравитационного красного смещения. Пусть первый наблюдатель (излучатель) вблизи $r\!=\!r_+$ посылает второму (удалённому) наблюдателю световой сигнал, который в системе отсчёта излучателя имеет частоту $\nu_0.$ Для удалённого наблюдателя часы излучателя идут медленнее его собственных, поэтому и световой сигнал он будет принимать с меньшей частотой $\nu\!<\!\nu_0,$ т. е. происходит смещение частоты в длинноволновую (красную) область спектра. Чем ближе к сфере радиуса $r_+$ находится источник сигнала, тем больше красное смещение. Если удалённый наблюдатель попытается зафиксировать сигнал, испущенный со сферы радиуса $r_+,$ он обнаружит, что сигнала нет, т. е. его частота нулевая.

Эргосфера

Вокруг чёрной дыры Керра – Ньюмана существует т. н. граница стационарности для вращательного движения, описываемая уравнением

$$r_e=\frac{r_g}2+\sqrt{\left(\frac{r_g}2\right)^2-Q^2-a^2\cos{ \theta}}.$$Она представляет собой осесимметричную замкнутую поверхность с топологией сферы, «сжатую» с полюсов, которая окружает внешний горизонт событий, причём её полюсы касаются его. Пространство между границей стационарности и внешним горизонтом событий называется эргосферой. Это область, где любой наблюдатель не может оставаться в состоянии покоя и, увлекаемый вращением чёрной дыры, вынужден совершать круговое движение вокруг неё, не имея возможности противостоять этому. С другой стороны, не достигая горизонта событий, такой наблюдатель имеет возможность избежать падения в чёрную дыру и покинуть её.

Свойства геометрии пространства-времени Керра – Ньюмана под горизонтами событий качественно совпадают со свойствами геометрии чёрной дыры Керра. Сложный характер решения Керра – Ньюмана приводит к необходимости использования разных систем координат для описания различных эффектов, связанных с особенностями геометрии данного пространства-времени. Наиболее универсальными являются конформные координаты и соответствующие им диаграммы Пенроуза, которые качественно совпадают с такими диаграммами для чёрной дыры Керра.