Чёрная дыра́ Ке́рра (вращающаяся чёрная дыра), геометрический объект (пространство-время), соответствующий решению уравнений Эйнштейна в вакууме при наличии массы $M$ и момента импульса $L,$ которые сконцентрированы в сингулярности пространства-времени. Сингулярность расположена в центральной области чёрной дыры и имеет форму кольца (центр чёрной дыры в системе координат удалённого наблюдателя соответствует диску в экваториальной плоскости чёрной дыры, а сингулярность – граница этого диска).

В зависимости от соотношения параметров $M$ и $L$ сингулярность может быть окружена либо двумя горизонтами событий (внутренним и внешним), либо одним. Кроме того, возможно такое соотношение массы и момента импульса, при котором горизонтов событий нет, т. е. решение представляет собой «голую» сингулярность, а не чёрную дыру. При наличии хотя бы одного горизонта событий удалённый наблюдатель регистрирует многие из эффектов в окрестности внешнего горизонта, аналогичные эффектам для чёрной дыры Шварцшильда и других чёрных дыр.

Данное решение было получено в 1963 г. Р. Керром (Kerr, 1963) и является чрезвычайно важным, поскольку подавляющее число астрофизических объектов вращается. Если возможен их гравитационный коллапс, то он должен привести к возникновению чёрных дыр, гравитационное поле которых описывается решением Керра.

Метрика Керра и горизонты событий

Все свойства чёрной дыры Керра определяются метрикой соответствующего пространства-времени (называемой метрикой Керра), которая является точным решением уравнений Эйнштейна. В этом пространстве-времени квадрат четырёхмерного интервала $ds$ между двумя бесконечно близкими событиями в упрощённом виде имеет следующий вид (точную запись см. в: Хокинг. 1977. С. 180):

$ds^2=g_{tt}(r,\theta)\,c^2dt^2+g_{rr}(r,\theta)\,dr^2+g_{\theta\theta}(r,\theta)\,d\theta^2+g_{\varphi\varphi}(r,\theta)\,d\varphi^2+2g_{t\varphi}(r,\theta)\,dtd\varphi.$Здесь $r,\ θ,\ φ$ – соответственно радиальная и две угловые пространственные координаты; $t$ – временна́я координата (собственное время удалённого на бесконечность наблюдателя); $c$ – скорость света в вакууме; $g_{tt},$ $g_{rr},$ $g_{\theta\theta},$ $g_{\varphi\varphi},$ $g_{t\varphi}$ – компоненты метрического тензора (метрические коэффициенты), которые помимо пространственных координат $r$ и $θ$ зависят также от массы $M$ и момента импульса $L.$ Координаты $(t,r,θ,φ)$ выбираются таким образом, чтобы описание гравитационного поля чёрной дыры на достаточно большом удалении от неё соответствовало закону всемирного тяготения Ньютона, записанному в сферической системе координат. Перекрёстный член $2g_{t\varphi}(r,\theta)\,dtd\varphi$ в силу наличия вращения (момента импульса $L$) не может быть исключён никаким преобразованием координат. Метрика Керра также позволяет определить радиальные координаты внутреннего и внешнего горизонтов событий – соответственно $r_-$ и $r_+.$

Для оценки соотношений между массой $M$ и моментом импульса $L$ чёрной дыры Керра используются величины с размерностью длины: гравитационный радиус $r_g\!=\!2GM/c^2$ (где $G$ – гравитационная постоянная) и параметр момента импульса $a\!=\!L/Mc.$

В случае $a\!=\!0$ чёрная дыра Керра становится чёрной дырой Шварцшильда с единственным (внешним) горизонтом событий: $r_+\!=\!r_g,$ $r_-\!=\!0.$

При возникновении момента импульса появляется внутренний горизонт событий с радиальной координатой

$$r_-=\frac{r_g}2-\sqrt{\left(\frac{r_g}2\right)^2-a^2},$$окружающий сингулярность, а внешний горизонт событий становится меньше $r_g,$ его радиальная координата определяется выражением

$$r_+=\frac{r_g}2+\sqrt{\left(\frac{r_g}2\right)^2-a^2}.$$С ростом $a,$ но при $a\!<\!r_g/2,$ внутренний горизонт событий увеличивается, а внешний уменьшается. При $a\!=\!r_g/2$ два горизонта сливаются в один, с координатой $r_-\!=\!r_+\!=\!r_g/2.$

При $a\!>\!r_g/2$ горизонты событий исчезают и чёрная дыра превращается в «голую» сингулярность. Однако существует принцип космической цензуры (пока не доказанный), согласно которому в нашей Вселенной не должно существовать «голых» сингулярностей.

Любая поверхность $t\!=\!{\rm const},$ $r\!=\!{\rm const},$ включая горизонты событий, в пространстве-времени, описываемом метрикой Керра, является софокусным эллипсоидом (сфероидом), а не сферой. При $r\!=\!0$ сфероиды $r\!=\!{\rm const}$ вырождаются в диск радиусом $a,$ граница которого и является кольцевой сингулярностью пространства-времени.

Замедление времени на горизонте событий и свободное падение в чёрную дыру

Пусть вдоль радиальной координаты $r$ снаружи внешнего горизонта событий $r\!=\!r_+$ расположено множество неподвижных наблюдателей. Все наблюдатели оснащены одинаковыми собственными часами, которые для каждого из них идут одинаково (но в сравнении друг с другом их время может течь по-разному). Для наблюдателя на бесконечности (при бесконечном $r$) его собственное время (показание его собственных часов) совпадает с координатным временем $t.$ Регистрируемые им показания часов $τ$ других наблюдателей, более близких к горизонту событий $r\!=\!r_+,$ будут меньше его собственных показаний: $\tau\!<\!t,$ причём чем ближе к горизонту событий часы, тем меньше их показания $τ.$ Другими словами, для удалённого наблюдателя чем часы ближе к внешнему горизонту событий чёрной дыры, тем медленнее они идут. Это относится не только к часам, а ко всем наблюдаемым процессам. Все процессы, происходящие на горизонте событий, для удалённого наблюдателя должны «застыть».

Из этого эффекта следует, что с точки зрения удалённого наблюдателя другой наблюдатель, свободно падающий в чёрную дыру, никогда не достигнет горизонта событий. Однако в собственной системе отсчёта свободно падающего наблюдателя он сможет достигнуть внешнего горизонта событий и беспрепятственно пересечь его. После этого покинуть чёрную дыру для него станет невозможно, поскольку гравитационное притяжение в окрестностях горизонта событий становится чрезвычайно сильным.

Лучи света, проходящие вблизи чёрной дыры, отклоняются от прямой линии; чем ближе к горизонту событий проходит луч, тем больше угол отклонения. Как и в случае с чёрной дырой Шварцшильда, на определённом расстоянии от горизонта событий луч света может развернуться и уйти в обратном направлении. При дальнейшем уменьшении расстояния луч света может обогнуть чёрную дыру (возможно, многократно) и уйти либо на бесконечность, либо под горизонт событий. Если луч распространяется в экваториальной плоскости чёрной дыры, то для него существуют две замкнутые круговые орбиты (в зависимости от направления распространения света по отношению к вращению дыры) с радиусами

$$r_{ph}=r_g \left\{1+\cos{\left[\frac23\arccos{\left(\mp\frac{2a}{r_g}\right)}\right]}\right\},$$где знак «минус» соответствует распространению света по направлению вращения дыры, знак «плюс» – против её вращения. Эти траектории луча называются фотонными орбитами, они неустойчивы: после любого возмущения луч либо покинет чёрную дыру, либо «упадёт» в неё.

С эффектом замедления времени также связан эффект гравитационного красного смещения. Пусть первый наблюдатель (излучатель) вблизи $r\!=\!r_+$ посылает второму (удалённому) наблюдателю световой сигнал, который в системе отсчёта излучателя имеет частоту $\nu_0$. Для удалённого наблюдателя часы излучателя идут медленнее его собственных, поэтому и световой сигнал он будет принимать с меньшей частотой $\nu\!<\!\nu_0,$ т. е. происходит смещение частоты в длинноволновую (красную) область спектра. Чем ближе к сфере радиуса $r_+$ находится источник сигнала, тем больше красное смещение. Если удалённый наблюдатель попытается зафиксировать сигнал, испущенный со сферы радиуса $r_+,$ он обнаружит, что сигнала нет, т. е. его частота нулевая.

Попадая под внешний горизонт событий, наблюдатель неминуемо достигнет внутреннего горизонта событий $r\!=\!r_-.$ Однако под внутренним горизонтом он имеет возможность либо достичь кольцевой сингулярности, либо избежать попадания в сингулярность благодаря переходу в другие вселенные. Причём, попадая в другие вселенные, наблюдатель всё ещё имеет альтернативу попасть в ту или иную сингулярность или избежать их. При слиянии горизонтов эти свойства не изменяются. Наблюдатель будет поглощён истинной сингулярностью только в том случае, если он будет падать в центр в экваториальной плоскости чёрной дыры. В других случаях он либо пройдёт мимо сингулярности снаружи неё, уходя в другую вселенную, либо попадёт внутрь кольца. В последнем случае за плоскостью кольца пространство становится «отрицательным» (т. е. $r\!<\!0$). Это соответствует решению уравнений Эйнштейна с отрицательной массой, от которой пробная частица с положительной массой отталкивается, т. е. с проявлением «антигравитации». Ещё одно необычное свойство пространства-времени «за кольцом» – это нарушение причинности вблизи кольца. Свойства кольцевой сингулярности не меняются, если она становится «голой». Согласно некоторым моделям, кольцевая сингулярность с такими свойствами может представлять собой кротовую нору.

Эргосфера

Вокруг чёрной дыры Керра существует т. н. граница стационарности для вращательного движения, описываемая уравнением

$$r_e=\frac{r_g}2+\sqrt{\left(\frac{r_g}2\right)^2-a^2\cos^2{\theta}},$$которая представляет собой осесимметричную замкнутую поверхность с топологией сферы, «сжатую» с полюсов. Она окружает внешний горизонт событий, касаясь его полюсами. Пространство между границей стационарности и внешним горизонтом событий называется эргосферой. Это область, где любой наблюдатель не может оставаться в состоянии покоя и, «увлекаемый» вращением чёрной дыры, вынужден совершать круговое движение вокруг неё, не имея возможности противостоять этому. Однако, не достигая горизонта событий, такой наблюдатель имеет возможность избежать падения в чёрную дыру и покинуть её.

В 1969 г. Р. Пенроуз предложил механизм извлечения энергии из вращающейся чёрной дыры (Penrose, 1969). Во время такого процесса падающее в чёрную дыру тело делится в эргосфере на две части, одна из которых достигает горизонта и уходит под него, а вторая может вернуться обратно с полной энергией, большей, чем полная энергия исходного (целого) тела. В результате вращение чёрной дыры замедляется.

Диаграмма Пенроуза и переход в другие вселенные

Сложный характер решения Керра приводит к необходимости использования разных систем координат для описания различных эффектов, связанных с особенностями геометрии данного пространства-времени. Наиболее универсальными являются конформные координаты и соответствующие им диаграммы Пенроуза (рисунок), которые качественно близки к диаграммам Пенроуза для чёрной дыры Райсснера – Нордстрёма. Использованные выше координаты $(t,r)$ способны описать только часть геометрии Керра, представленную на диаграмме четырёхугольником ABCD. Конформные же координаты дают возможность описать полную геометрию Керра, представленную бесконечным набором идентичных «фрагментов» пространства-времени. «Наша Вселенная» в данном случае определяется как область пространства-времени, находящаяся снаружи внешнего горизонта событий $r\!=\!r_+,$ в которой находится удалённый наблюдатель. Для нашей Вселенной временны́е бесконечности прошлого и будущего на диаграмме представлены точками $I^-$ и $I^+;$ пространственная бесконечность – точкой $I^0;$ нулевые бесконечности, откуда приходят и куда уходят световые сигналы, – отрезками $\cal J^-$ и $\cal J^+.$

Конформная диаграмма Пенроуза для геометрии Керра. Архив БРЭ.Конформная диаграмма Пенроуза для геометрии Керра. Архив БРЭ.Как и для чёрных дыр Шварцшильда и Райсснера – Нордстрёма, распространение любых сигналов в каждой из точек диаграммы, включая горизонты $r_-$ и $r_+,$ ограничено образующими световых конусов, которые везде имеют один и тот же наклон в 45°. Как видно из диаграммы, попадая под горизонт $r_+,$ сигнал неминуемо достигнет следующего горизонта $r_-.$ В отличие от чёрной дыры Шварцшильда, частица (сигнал) может избежать столкновения с сингулярностью, благодаря возможности выйти в другую вселенную. Кроме этого, есть возможность через сингулярное кольцо проникнуть во вселенную с «антигравитацией».

В случае «слияния» горизонтов событий диаграмма Пенроуза оказывается «половиной» полной диаграммы. В этом случае вертикальная линия, проведённая по центру рисунка, представляет сингулярность пространства-времени, слева от которой расположены «треугольники» вселенных с «антигравитацией», а справа – «ромбы» областей обычных вселенных и «треугольники» областей между горизонтом и сингулярностью. Остаётся возможность избежать попадания в сингулярность путём выхода в другую вселенную или перехода через сингулярное кольцо. В случае «голой» сингулярности диаграмма Пенроуза вырождается в единственный ромб, разделённый сингулярностью (в виде центральной вертикальной линии) на вселенные с обычной гравитацией и «антигравитацией».