Чёрная дыра́ Ра́йсснера – Нордстрёма, геометрический объект (пространство-время), соответствующий решению уравнений Эйнштейна при наличии точечной массы с электрическим зарядом и при условиях статичности и сферической симметрии. Представляет собой сферически-симметричную (невращающуюся) электрически заряженную чёрную дыру. Масса и электрический заряд чёрной дыры Райсснера – Нордстрёма сконцентрированы в сингулярности пространства-времени, которая расположена в центре чёрной дыры и не может быть устранена никакими преобразованиями координат, поскольку инварианты тензора кривизны в ней являются бесконечными. Это решение уравнений Эйнштейна было получено в 1916–1921 гг. независимо Г. Райсснером, Г. Вейлем, Г. Нордстрёмом и Дж. Джеффери.

Метрика Райсснера – Нордстрёма

Все свойства чёрной дыры Райсснера – Нордстрёма определяются метрикой соответствующего сферически-симметричного пространства-времени (называемой метрикой Райсснера – Нордстрёма), в котором квадрат четырёхмерного интервала $ds$ между двумя бесконечно близкими событиями равен

$${ds}^2=\left(1-\frac{r_g}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)c^2{dt}^2-\frac{{dr}^2}{\displaystyle 1-\frac{r_g}{r}+\frac{Q^2}{r^2}}-r^2\left({d\theta}^2+\sin^2{\theta}{d\varphi}^2\right). \tag{1}$$Здесь $r, \theta, \varphi$ – соответственно радиальная и две угловые координаты в сферической системе координат с центром в сингулярности; $t$ – временная координата; $G$ – гравитационная постоянная, $c$ – скорость света в вакууме; $r_g=2GM/c^2$ – гравитационный радиус, $M$ – параметр массы (если чёрная дыра образовалась в результате гравитационного коллапса физического объекта, то параметр массы равен массе этого объекта); $Q=q\sqrt{Gk}/c^2$ – параметр заряда, имеющий размерность длины, $q$ – электрический заряд, $k$ – постоянная, входящая в закон Кулона. При $q\!\rightarrow\!0$ решение Райсcнера – Нордстрёма переходит в решение Шварцшильда.

Световые конусы пространства-времени Райсснера – Нордстрёма и горизонты событий

На рис. 1 изображены световые конусы для пространства-времени, описываемого решением Райсснера – Нордстрёма. Предполагается движение по радиальным направлениям, поэтому используются только координаты $r$ и $t.$ Это координаты удалённого наблюдателя в его собственной системе отсчёта. Угол при вершине световых конусов определяется выражением для скорости света (фотонов), которая измеряется удалённым наблюдателем:

$$v_c=\pm\ c\left(1-\frac{r_g}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right).$$Это выражение следует из формулы (1) и уравнения $ds^2\!=\!0$ для безмассовых частиц. Скорости массивных частиц всегда меньше световых, поэтому их мировые линии расположены внутри этих конусов. Толстые вертикальные линии, обозначенные как $r_-$ и $r_+,$ также удовлетворяют уравнению $ds^2\!=\!0$ и дополнительно соответствуют условию $v_c\!=\!0.$ Они обозначают сферические поверхности $r\!=\!r_-$ и $r\!=\!r_+,$ которые называются горизонтами событий (соответственно, внутренним и внешним). Их координаты равны

$$r_-=\frac{r_g}2-\sqrt{\left(\frac{r_g}2\right)^2-Q^2}, \tag{2}$$$$r_+=\frac{r_g}2+\sqrt{\left(\frac{r_g}2\right)^2-Q^2}. \tag{3}$$Рис. 1. Световые конусы для пространства-времени чёрной дыры Райсснера – Нордстрёма. Предполагается движение по радиальному направлению, поэтому используются только радиальная пространственная координата r и временна́я координата t. Сингулярность находится в начале координат. Архив БРЭ.Рис. 1. Световые конусы для пространства-времени чёрной дыры Райсснера – Нордстрёма. Предполагается движение по радиальному направлению, поэтому используются только радиальная пространственная координата r и временна́я координата t. Сингулярность находится в начале координат. Архив БРЭ.На значительном удалении от центральной точки (правая часть рис. 1, при $r\!>\!r_+$) образующие конусов наклонены к осям координат под углом 45°, т. е. так, как в плоском пространстве-времени (пространстве-времени с нулевой кривизной, или в пространстве-времени Минковского). По мере приближения к внешнему горизонту $r\!=\!r_+$ световые конусы становятся у́же, а на поверхности $r\!=\!r_+$ полностью «сжимаются», превращаясь в вертикальную линию. Это значит, что в собственной системе отсчёта удалённого наблюдателя скорость света на поверхности $r\!=\!r_+$ становится «нулевой» (это также видно из вышеназванного условия $v_c\!=\!0$) и, следовательно, никакие частицы, включая фотоны, не могут достигнуть этой поверхности или покинуть её. С точки зрения удалённого наблюдателя все процессы на горизонте событий чёрной дыры «замораживаются». Траектории электрически нейтральных и заряженных частиц будут различными, но световые конусы их ограничивают одинаково.

Если рассматривать падение частицы в чёрную дыру не в системе отсчёта удалённого наблюдателя, а в её собственной системе отсчёта, то она может достигнуть горизонта событий и даже пересечь его, но после этого также не сможет вернуться обратно. Это свидетельствует о том, что гравитационное притяжение в окрестностях горизонтов событий является экстремально сильным.

Лучи света, проходящие вблизи чёрной дыры, отклоняются от прямой линии. Чем ближе к горизонту событий проходит луч, тем больше угол отклонения. Как и в случае с чёрной дырой Шварцшильда, на определённом расстоянии от горизонта событий луч света может развернуться на 180° и уйти в обратном направлении. При ещё меньшем расстоянии угол отклонения станет равным 360° и больше. Может оказаться, что луч сделает полный оборот и останется на круговой (замкнутой) орбите вокруг чёрной дыры. Эта траектория луча называется фотонной орбитой, она неустойчива: после любого возмущения луч либо покинет чёрную дыру, либо «упадёт» в неё.

На горизонтах событий $r\!=\!r_+$ и $r\!=\!r_-$ коэффициент при $c^2dt^2$ в формуле для интервала (1) обращается в ноль, а коэффициент при $dr^2$ становится бесконечным. Тем не менее это не означает наличие на этой сфере геометрической особенности (сингулярности) пространства-времени, поскольку инварианты тензора кривизны на этих поверхностях в бесконечность не обращаются. Расходимость компонент метрического тензора на горизонтах в данном случае – это следствие выбора конкретной системы координат $(t, r)$. Другими словами, это координатная, а не истинная сингулярность. По этой причине невозможно описать достижение пробными частицами горизонта $r\!=\!r_+$ в координатах $(t, r).$

Между $r_+$ и $r_-$ коэффициент при $c^2dt^2$ становится отрицательным, а коэффициент при $dr^2$ – положительным, т. е. координата $t$ становится пространственной, а координата $r$ становится временно́й. По этой причине световые конусы развернутся на 90° (рис. 1). Из расположения световых конусов становится очевидным, что массивные частицы, распространяясь от внешнего горизонта $r_+$, неминуемо достигнут внутреннего горизонта $r_-,$ а фотоны будут стремиться к $r_-$ только асимптотически – это также координатный эффект. При $r\!<\!r_-$ исходный смысл координат $t$ и $r$ восстанавливается. По этой причине истинная сингулярность при $r\!=\!0$ в чёрной дыре Райсснера – Нордстрёма на самом деле представляет собой точку (в отличие от чёрной дыры Шварцшильда, где $r\!=\!0$ – это пространственноподобная гиперповерхность). Положение световых конусов при $r\!<\!r_-$ говорит о том, что в этой области отсутствует неизбежность падения в сингулярность.

Соотношение между положением горизонтов $r_+$ и $r_-$ следующее. Как видно из формул (2) и (3), в случае $q\!\rightarrow\!0$ чёрная дыра Райсснера – Нордстрёма переходит в чёрную дыру Шварцшильда с единственным горизонтом: $r_+\!=\!r_g,$ $r_-\!=\!0.$ При добавлении малого электрического заряда $q$ появляется внутренний горизонт с малой величиной $r_-$ (меньшей, чем $r_+$), а величина $r_+$ становится меньше $r_g.$ По мере роста $q$ величина $r_-$ увеличивается, а величина $r_+$ уменьшается. При $Q\!=\!r_g/2$ два горизонта событий $r_-$ и $r_+$ совпадут, образуя единый горизонт. Дальнейшее увеличение $q$ приводит к выполнению условия $Q\!>\!r_g/2$ и исчезновению горизонтов событий, а значит, и отсутствию чёрной дыры; истинная сингулярность становится «голой» сингулярностью. Теоретически такая ситуация возможна, однако существует принцип космической цензуры (пока не доказанный), согласно которому в нашей Вселенной не должно существовать «голых» сингулярностей.

Замедление времени и гравитационное красное смещение

Пусть вдоль радиальной координаты $r$ снаружи сферы $r\!=\!r_+$ расположено множество неподвижных наблюдателей. Все наблюдатели оснащены одинаковыми собственными часами, которые для каждого из них идут одинаково (но в сравнении друг с другом их время может течь по-разному). Для наблюдателя на бесконечности (при бесконечном $r$) его собственное время (показание его собственных часов) совпадает с координатным временем $t.$ Наблюдаемые им показания часов $\tau$ наблюдателей, более близких к горизонту событий чёрной дыры, определяются выражением

$$\tau=t\sqrt{1-\frac{r_g}{r}+\frac{Q^2}{r^2}}, \tag{4}$$которое вытекает из временно́й части формулы (1) для интервала. Из выражения (4) следует, что при $r\!>\!r_+$ чем меньше $r,$ тем меньше $τ,$ т. е. для удалённого наблюдателя чем часы ближе к внешнему горизонту событий чёрной дыры, тем они идут медленнее. При $r\!=\!r_+$ часы должны застыть $(\tau\!=\!0$ при любом $t).$ Это относится не только к часам, но и ко всем наблюдаемым процессам.

С эффектом замедления времени связан эффект гравитационного красного смещения. Пусть первый наблюдатель (излучатель), находящийся вблизи внешнего горизонта событий $r\!=\!r_+$ (но снаружи него), посылает второму (удалённому) наблюдателю световой сигнал, который в системе отсчёта излучателя имеет частоту $\nu_0.$ Для удалённого наблюдателя часы излучателя идут медленнее его собственных, поэтому и световой сигнал он будет принимать с меньшей частотой $\nu\!<\!\nu_0,$ т. е. происходит смещение частоты в длинноволновую (красную) область спектра. Чем ближе к сфере радиуса $r_+$ находится источник сигнала, тем больше красное смещение. Если удалённый наблюдатель попытается зафиксировать сигнал, испущенный со сферы радиуса $r_+,$ он обнаружит, что сигнала нет, т. е. его частота нулевая.

Диаграмма Пенроуза и переход в другую вселенную

Помимо того, что координаты $(t, r)$ в формуле (1) и на рис. 1 являются сингулярными на горизонтах событий, они не покрывают всей геометрии пространства-времени Райсснера – Нордстрёма. Для описания полной геометрии чёрных дыр используются, например, конформные координаты и соответствующие им конформные диаграммы Пенроуза. На рис. 2 представлена такая диаграмма для геометрии Райсснера – Нордстрёма, где полное пространство-время представлено бесконечным набором идентичных «фрагментов».

Рис. 2. Конформная диаграмма Пенроуза для геометрии Райсснера – Нордстрёма. Архив БРЭ.Рис. 2. Конформная диаграмма Пенроуза для геометрии Райсснера – Нордстрёма. Архив БРЭ.Четырёхугольник ABCD соответствует диаграмме на рис. 1. «Наша Вселенная» в данном случае определяется как область пространства-времени, находящаяся снаружи внешнего горизонта событий $r\!=\!r_+,$ в которой находится удалённый наблюдатель. Для нашей Вселенной временны́е бесконечности прошлого и будущего представлены точками $I^-$ и $I^+;$ пространственная бесконечность – точкой $I^0;$ нулевые бесконечности, откуда приходят и куда уходят световые сигналы, – отрезками $\cal J^-$ и $\cal J^+.$ В отличие от рис. 1, на рис. 2 образующие световых конусов в каждой из точек, включая горизонты $r_-$ и $r_+,$ имеют один и тот же наклон в 45°. Штриховыми голубыми линиями обозначены мировые линии массивных частиц. Как видно из диаграммы, попадая под горизонт $r_+,$ любой сигнал неминуемо достигнет следующего горизонта $r_-.$ В отличие от чёрной дыры Шварцшильда, частица (сигнал) вполне может избежать столкновения с истинной сингулярностью, благодаря возможности выйти в другую вселенную. Для других вселенных пространственные, временны́е и нулевые бесконечности определяются так же, как и для нашей.

В случае $Q\!=\!r_g/2$ горизонты $r_-$ и $r_+$ «сливаются». Однако, в отличие от чёрной дыры Шварцшильда, координаты $t$ и $r$ не меняют смысла под «сдвоенным» горизонтом. Поэтому диаграмма Пенроуза оказывается «половиной» диаграммы на рис. 2, где вертикальная линия, проведённая по центру рисунка и представляющая истинную сингулярность, оставит либо правую, либо левую часть. В этом случае также есть возможность избежать попадания в истинную сингулярность путём выхода в другую вселенную. Наконец, в случае «голой» сингулярности диаграмма Пенроуза вырождается в единственный треугольник, где слева вертикалью будет обозначена сингулярность, а справа – вся остальная Вселенная.

Заряженная чёрная дыра может сформироваться в результате гравитационного коллапса только в случае, если величина заряда чрезвычайно мала по отношению к массе. Ведь гравитационное притяжение материи должно компенсировать её электрическое отталкивание, которое значительно сильнее. «Голая» заряженная сингулярность заведомо не может образоваться путём коллапса.