Безграни́чно дели́мое распределе́ние, распределение вероятностей, которое при любом $n=2, З, 4\ldots$ может быть представлено как композиция (свёртка) $n$ одинаковых распределений вероятностей. Определение бесконечно делимого распределения в равной степени применимо к распределениям на прямой, в конечномерных евклидовых пространствах и в некоторых ещё более общих случаях. Ниже рассматривается одномерный случай.

Характеристические функции $f(t)$ бесконечно делимого распределения называются безгранично делимыми. Каждая такая функция при любом $n$ может быть представлена как $n$-я степень некоторой другой характеристической функции:

$$f(t)=(f_n(t))^n.$$Примерами бесконечно делимого распределения могут служить нормальное распределение, распределение Пуассона, распределение Коши, «хи-квадрат» распределение. Проверять свойство безграничной делимости проще всего с помощью характеристической функции. Композиция бесконечно делимых распределений и предел слабо сходящейся последовательности бесконечно делимых распределений суть снова бесконечно делимые распределения.

Случайную величину, определённую на некотором вероятностном пространстве, называют безгранично делимой, если при любом $n$ она может быть представлена в виде суммы $n$ независимых одинаково распределённых случайных величин, определённых на том же пространстве. Распределение каждой такой величины – бесконечно делимое распределение. Обратное не всегда верно. Так, если взять дискретное вероятностное пространство, образованное неотрицательными целыми числами $m=0, 1, 2,\ldots$ с приписанными им пуассоновскими вероятностями

$$\mathsf{P}(m)=\frac{\lambda^m}{m!} e^{-\lambda},$$то случайная величина $X(m)=m$ не будет безгранично делимой, хотя её распределение вероятностей (распределение Пуассона) есть бесконечно делимое распределение.

Бесконечно делимое распределение впервые появились в связи с изучением стохастически непрерывных однородных случайных процессов с независимыми приращениями (см. Finetti. 1929; Kolmogorov. 1932; Lévy. 1934). Так называют процессы $X(\tau$), $\tau\geqslant 0$, удовлетворяющие требованиям:
1) $X(0)=0$;
2) распределение вероятностей приращения $X(\tau_2)-X(\tau_1)$, $\tau_2>\tau_1$, зависит только от $\tau_2-\tau_1$;
3) при $\tau_1\leqslant\tau_2\leqslant\ldots\leqslant\tau_k$ разности

$$X(\tau_2)-X(\tau_1), X(\tau_3)-X(\tau_2), \ldots, X(\tau_k)-X(\tau_{k-1})$$являются взаимно независимыми случайными величинами;
4) для любого $\varepsilon >0$

$$\mathsf{P}(|X(\tau)|>\varepsilon)\to 0$$при $\tau\to 0$.

Для такого процесса значение $X(\tau)$ при любом $\tau$ будет иметь бесконечно делимое распределение и соответствующая характеристическая функция удовлетворяет соотношению:

$$f_\tau(t)=(f_1(t))^\tau.$$Общий вид $f_\tau(t)$ для таких процессов в предположении конечности дисперсий $\mathsf{D}X(\tau)$ был найден А. Н. Колмогоровым (Kolmogorov. 1932) (частный случай приводимого ниже общего канонического представления бесконечно делимого распределения).

Характеристическая функция бесконечно делимого распределения нигде не обращается в нуль, и её логарифм (в смысле главного значения) допускает представление вида:

$$\ln f(\tau)=i\gamma t+\int_{-\infty}^{+\infty} L(u,t)\frac{1+u^2}{u^2} \,dG(u) \tag{*}$$(т. н. каноническое представление Леви – Хинчина), где

$$L(u,t)=e^{itu}-1-\frac{itu}{1+u^2},$$$\gamma$ – некоторая действительная постоянная, $G(u)$ – неубывающая функция ограниченной вариации с $G(-\infty)=0$. Подынтегральное выражение при $u=0$ принимают равным $–t^2/2$. При любом выборе постоянной $\gamma$ и функции $G(x)$ с указанными выше свойствами формула $(*)$ определяет логарифм характеристической функции некоторого бесконечно делимого распределения. Соответствие между бесконечно делимыми распределениями и парами $(\gamma, G)$ взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Последнее означает, что бесконечно делимые распределения слабо сходятся к предельному бесконечно делимому распределению тогда и только тогда, когда $\gamma_n\to\gamma$ и $G_n(x)$ слабо сходятся к $G(x)$ при $n\to\infty$.

Примеры. Пусть $U(x)=0$, $x\leqslant 0$, $U(x)=1$, $x>0$. Тогда для нормального распределения с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $\sigma^2$ в формуле $(*)$ следует положить

$$\gamma=a, \quad G(x)=\frac{\sigma^2}2 U(x).$$Для распределения Пуассона с параметром $\lambda$ имеем

$$\gamma=\frac\lambda2, \quad G(x)=\frac\lambda2 U(x-1).$$Для распределения Коши с плотностью

$$p(x)=\frac1{\pi(1+x^2)}$$имеем $\gamma=0$,

$$G(x)=\frac1\pi \arctg x+\frac12.$$Каноническое представление $(*)$ удобно с чисто «технической» точки зрения (благодаря тому, что $G$ имеет ограниченную вариацию), однако функция $G$ не имеет прямого вероятностного истолкования. Поэтому используют и другую форму представления бесконечно делимого распределения, допускающую непосредственную вероятностную интерпретацию. Пусть функции $M(u)$ и $N(u)$ определены при $u<0$ и $u>0$, соответственно, формулами:

$$\begin{gathered}dM(u)= \frac{1+u^2}{u^2} \,dG(u),\\ dN(u)= \frac{1+u^2}{u^2} \,dG(u), \\ M(-\infty)=N(\infty)=0. \end{gathered}$$Эти функции неубывающие, $M(u)\geqslant 0$ при $u<0$ и $N(u)\leqslant 0$ при $u>0$; в окрестности нуля функции могут неограниченно возрастать. Обозначая дополнительно через $\sigma^2$ скачок функции $G$ в нуле, формулу $(*)$ можно переписать в виде:

$$\begin{gathered}\ln f(t)=i\gamma t-\frac12 \sigma^2t^2+\int_{-\infty}^{-0} L(u,t) \, dM(u) +  \\ +\int_{+0}^\infty L(u,t) \,dN(u)\end{gathered}$$(каноническое представление Леви). Функции $M$ и $N$ описывают, грубо говоря, частоту скачков различного размера в однородном процессе $X(\tau)$ с независимыми приращениями, для которого

$$\ln f_\tau(t)=\tau\ln f(t).$$Важная роль бесконечно делимого распределения в предельных теоремах теории вероятностей связана с тем, что эти и только эти распределения могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, подчинённых требованию асимптотической пренебрегаемости. При этом рассматривают последовательность серий $X_{n1},\ldots,X_{nk_n}$, $n=1,2,\ldots$, взаимно независимых случайных величин и затем подбирают взаимно независимые случайные величины $Y_{n1},\ldots,Y_{nk_n}$, имеющие бесконечно делимые распределения (т. н. сопровождающие бесконечно делимые распределения); характеристическая функция $g_{nk}(t)$ величины $Y_{nk}$ определяется по характеристической функции $f_{nk}(t)$ величины $X_{nk}$ так, чтобы выполнялось следующее основное свойство: распределения сумм

$$\sum_{k=1}^{k_n} X_{nk}-A_n$$сходятся к предельному распределению (при некотором выборе констант $A_n$) тогда и только тогда, когда сходятся к предельному распределения сумм

$$\sum_{k=1}^{k_n} Y_{nk}-A_n.$$Для симметричного распределения $X_{nk}$ полагают

$$g_{nk}(t)=\exp (f_{nk}(t)-1).$$В других случаях выражение $g_{nk}$ сложнее и содержит т. н. урезанные математические ожидания $X_{nk}$. Свойства бесконечно делимого распределения описывают в терминах функций, входящих в канонические представления. Так, например, безгранично делимая функция распределения $F(x)$ непрерывна тогда и только тогда, когда $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{u^2}\, dG(u)=\infty$.

Важным частным случаем бесконечно делимого распределения являются т. н. устойчивые распределения. См. также Разложение безгранично делимых распределений.