Канони́ческое представле́ние Леви́, формула для логарифма характеристической функции $\ln \varphi(\lambda)$ безгранично делимого распределения:

$$\begin{aligned} \ln \varphi(\lambda)&= i \gamma \lambda-\frac{\sigma^2 \lambda^2}{2}+\int_{-\infty}^0 \left(e^{i \lambda x}-1-\frac{i \lambda x}{1+x^2}\right)\, d M(x)+ \\ &\quad +\int_0^{\infty}\left(e^{i \lambda x}-1-\frac{i \lambda x}{1+x^2}\right)\, d N(x), \end{aligned}$$где характеристики канонического представления Леви $\gamma, \sigma^2, M, N$ удовлетворяют следующим условиям: $-\infty<\gamma<\infty$, $\sigma^2 \geqslant 0$, $M(x)$ и $N(x)$ – неубывающие непрерывные слева функции на $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$ соответственно и такие, что

$$\lim _{x \rightarrow \infty} N(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} M(x)=0$$и

$$\int_{-1}^0 x^2\, d M(x)<\infty, \quad \int_0^1 x^2\, d N(x)< \infty.$$Каждому безгранично делимому распределению соответствует единственный набор характеристик канонического представления Леви $\gamma, \sigma^2, M, N$, и обратно, при приведённых выше условиях на ${\gamma}, \sigma^2, M$ и $N$ по любому такому набору каноническое представление Леви определяет логарифм характеристической функции некоторого безгранично делимого распределения.

Так, для нормального распределения со средним $a$ и дисперсией ${\sigma}^2$

$${\gamma}=a, \quad {\sigma}^2={\sigma}^2,\quad N(x) \equiv 0, \quad M(x) \equiv 0.$$Для распределения Пуассона с параметром $\lambda$

$$\begin{gathered} \gamma=\lambda / 2,\,\, \sigma^2=0,\,\, M(x) \equiv 0,\,\, N(x)=-\lambda\,\, \text { при }\,\, x \leqslant 1, \\ N(x)=0\,\, \text { при }\,\, x>1. \end{gathered}$$Устойчивому распределению с показателем $\alpha$, $0<\alpha<2$, соответствует каноническое представление Леви с

$$\sigma^2=0\,\, \text { и некоторым }\,\, \gamma,\quad M(x)=c_1 /|x|^\alpha,\quad N(x)=-c_2 / x^\alpha,$$где $c_i \geqslant 0$, $i=1,2$, – постоянные $\left(c_{1}+c_2>0\right)$. Каноническое представление Леви безгранично делимого распределения было предложено П. Леви (1934). Оно является обобщением формулы А. Н. Колмогорова, найденной им в 1932 г. для случая, когда безгранично делимое распределение имеет конечную дисперсию. Для $\ln \varphi(\lambda)$ имеется эквивалентная формула канонического представления Леви, предложенная в 1937 г. А. Я. Хинчиным и называемая каноническим представлением Леви – Хинчина. Вероятностный смысл функций $N$ и $M$ и область использования канонического представления Леви определяются следующим: каждой безгранично делимой функции распределения $F(x)$ соответствует стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями

$$X=\{X(t),\,\, 0 \leqslant t<\infty\},\quad X(0)=0,$$такой, что

$$F(x)=\mathbf{P}\{X(1)<x\}.$$В свою очередь, сепарабельный процесс $X$ упомянутого типа имеет с вероятностью 1 выборочные траектории без разрывов второго рода, и поэтому для $b>a>0$ определена случайная величина $Y([a, b])$, равная числу элементов во множестве

$$\left\{t: a \leqslant \lim _{\tau \downarrow 0} X(t+\tau)-\lim _{\tau \downarrow 0} X(t-\tau)<b,\,\, 0 \leqslant t \leqslant 1\right\}.$$В этих обозначениях для функции $N$, соответствующей $F(x)$, имеет место следующее соотношение

$$\mathbf{E}\{Y([a, b])\}=N(b)-N(a).$$Аналогичное соотношение имеет место и для функции $M$.

В терминах характеристик канонического представления Леви функции распределения $\mathbf{P}\{X(1)<x\}$ легко выражаются многие свойства поведения выборочных траекторий сепарабельного процесса $X$. В частности, при $\sigma^2=0$

$$\begin{gathered} \lim _{x \rightarrow 0} N(x)>-\infty,\quad \lim _{x \rightarrow 0} M(x)<\infty, \\ \gamma=\int_{-\infty}^0 \frac{x}{1+x^2}\, d M(x) + \int_0^{\infty} \frac{x}{1+x^2}\, d N(x), \end{gathered}$$почти все выборочные функции $X$ с вероятностью 1 будут ступенчатыми функциями с конечным числом скачков на любом конечном интервале. Если $\sigma^2=0$ и

$$\int_{-1}^0|x|\, d M(x)+\int_0^1 x \,d N(x)<\infty,$$то выборочные траектории $X$ с вероятностью 1 имеют ограниченную вариацию на любом конечном интервале. Непосредственно через характеристики канонического представления Леви $\mathbf{P}\{X(1)<x\}$ определяется инфинитезимальный оператор, соответствующий процессу $X$, рассматриваемому как марковская случайная функция. Многие аналитические свойства безгранично делимой функции распределения непосредственно выражаются в терминах характеристик её канонического представления Леви.

Имеются аналоги канонического представления Леви для безгранично делимых распределений, задаваемых на широком классе алгебраических структур.