Функция ограниченной вариации

Фу́нкция ограни́ченной вариа́ции, функция, имеющая ограниченную вариацию. Для функций одного действительного переменного понятие функции ограниченной вариации введено К. Жорданом (Jordan. 1881) в связи с обобщением теоремы Дирихле о сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций (см. признак Жордана сходимости ряда Фурье). Функция ${\displaystyle f(x)}$, заданная на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде

${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)}$,

где ${\displaystyle f_{1}(x)}$ и ${\displaystyle f_{2}(x)}$ – возрастающие (убывающие) на ${\displaystyle [a,b]}$ функции (см. разложение Жордана функции ограниченной вариации). Всякая функция ограниченной вариации ограниченна и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все 1-го рода. Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (см. Разложение Лебега функции ограниченной вариации).

В случае нескольких переменных понятие функции ограниченной вариации не является однозначным, т. к. в этом случае существует несколько определений вариации функции: вариация Арцела, вариация Витали, вариация Пирпонта, плоская вариация Тонелли, вариация Фреше, вариация Харди.