Плоская вариация Тонелли

Пло́ская вариа́ция Тоне́лли, числовая характеристика функции двух переменных, с помощью которой определяется класс функций, имеющих ограниченную вариацию в смысле Тонелли. Пусть функция ${\displaystyle f(x,y)}$ задана на прямоугольнике ${\displaystyle D=[a,b]\times [c,d]}$. Предполагается, что функции

${\displaystyle V_{f}^{1}(x)\equiv \mathop {\mathrm {Var} } \limits _{a\leqslant y\leqslant b}f(x,y)}$

и

${\displaystyle V_{f}^{2}(x)\equiv \mathop {\mathrm {Var} } \limits _{c\leqslant y\leqslant d}f(x,y)}$

измеримы по Лебегу (первая – на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, вторая – на ${\displaystyle [c,d]}$). Если

${\displaystyle T(f,D)\equiv \int \limits _{a}^{b}V_{f}^{1}(x)\,dx+\int \limits _{c}^{d}V_{f}^{2}(y)\,dy<\infty ,}$

то говорят, что функция ${\displaystyle f(x,y)}$ имеет ограниченную (конечную) плоскую вариацию Тонелли на прямоугольнике ${\displaystyle D}$, а класс всех таких функций обозначают ${\displaystyle T(D)}$. Это определение предложено Л. Тонелли (см. Tonelli. Sur la quadrature ... 1926^[1]; Tonelli. Sulla quadratura ... 1926^[2]). Однако для непрерывных функций ${\displaystyle f(x,y)}$ другая характеристика класса ${\displaystyle T(D)}$ (в терминах индикатрисы Банаха) содержится в более ранней работе С. Банаха (Banach. 1925^[3]). Если функция ${\displaystyle f(x,y)}$ непрерывна на прямоугольнике ${\displaystyle D}$, то для того, чтобы поверхность ${\displaystyle z=f(x,y)}$ имела конечную площадь, необходимо и достаточно, чтобы функция ${\displaystyle f(x,y)}$ принадлежала классу ${\displaystyle T(D)}$.