Сингулярная функция

Сингуля́рная фу́нкция, отличная от постоянной непрерывная функция ограниченной вариации, производная которой почти всюду на рассматриваемом отрезке равна нулю. Сингулярные функции входят в качестве слагаемых в разложение Лебега функций ограниченной вариации. Например, всякая непрерывная функция ограниченной вариации ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ единственным образом представима в виде суммы ${\displaystyle f(x)=\varphi (x)+r(x)}$, где ${\displaystyle \varphi (x)}$ – абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая условию ${\displaystyle \varphi (a)=f(a)}$, а ${\displaystyle r(x)}$ есть сингулярная функция или тождественный нуль.

Пример. Пусть ${\displaystyle X=[0,1]}$. Любое ${\displaystyle x\in X}$ может быть представлено в виде

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\alpha _{i}}{3^{i}}}=0{,}\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\ldots ,}$

где ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$, ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots }$ . При этом если ${\displaystyle x\in C}$, где ${\displaystyle C}$ – канторово множество, то ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ или ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots }$ . Пусть ${\displaystyle n=n(x)}$ – первый индекс, при котором ${\displaystyle \alpha _{n}=1}$; если таких индексов нет, то полагают ${\displaystyle n(x)=+\infty }$. Функция

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\alpha _{i}}{2^{i+1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}}$

является монотонной сингулярной функцией.