Функция скачков

Фу́нкция скачко́в, одна из трёх компонент в разложении Лебега функции ограниченной вариации. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ – функция ограниченной вариации на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Пусть ${\displaystyle d_{\text{л}}=f(x)-f(x{-}0)}$ при ${\displaystyle a<x\leqslant b}$ и ${\displaystyle d_{\text{п}}=f(x{+}0)-f(x)}$ при ${\displaystyle a\leqslant x<b}$. Число ${\displaystyle d_{\text{л}}}$ называется скачком функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ слева, а число ${\displaystyle d_{\text{п}}}$ – скачком функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ справа. Если ${\displaystyle a<x<b}$, то число

${\displaystyle d(x)=f(x{+}0)-f(x{-}0)=d_{\text{л}}+d_{\text{п}}}$

называется скачком функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$. Пусть ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}}$ – последовательность всех точек разрыва функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и

${\displaystyle s(x)=\sum _{a\leqslant x_{i}<x}d_{\text{п}}(x_{i})+\sum _{a<x_{i}\leqslant x}d_{\text{п}}(x_{i})\quad (\,s(a)=0\,)}$.

Функция ${\displaystyle s(x)}$ называется функцией скачков для функции ${\displaystyle f(x)}$. При этом разность ${\displaystyle f(x)-s(x)=\varphi (x)}$ является непрерывной функцией ограниченной вариации на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, причём

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=V_{a}^{b}(\varphi )+V_{a}^{b}(s)}$,

где ${\displaystyle V_{a}^{b}(F)}$ – вариация функции ${\displaystyle F}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. При этом

${\displaystyle V_{a}^{b}(s)=\sum _{a\leqslant x_{i}<b}\mid d_{\text{п}}(x_{i})\mid +\sum _{a<x_{i}\leqslant b}d_{\text{п}}\mid (x_{i})\mid }$.