Вариация Арцела

Вариа́ция Арце́ла́, одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть действительнозначная функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ задана на ${\displaystyle n}$-мерном параллелепипеде ${\displaystyle D_{n}=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}$, ${\displaystyle \ n=2,3,\ldots }$, и ${\displaystyle G_{n}}$ – класс всех таких непрерывных вектор-функций ${\displaystyle x(t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$ (${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$), что каждая функция ${\displaystyle x_{k}(t)}$ не убывает на ${\displaystyle [0,1]}$, причём ${\displaystyle x_{k}(0)=a_{k}}$, ${\displaystyle x_{k}(1)=b_{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$. Тогда

${\displaystyle A(f,D_{n}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup _{{\bar {x}}(t)\in G_{n}}\sup _{\Pi }\sum _{s=1}^{m}{\bigl |}f{\bigl (}{\bar {x}}(t_{s}){\bigr )}-f{\bigl (}{\bar {x}}(t_{s-1}){\bigr )}{\bigr |}}$,

где ${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{m}=1\}}$ – произвольная система точек из ${\displaystyle [0,1]}$. Это определение в случае ${\displaystyle n=2}$ предложено Ч. Арцела (Arzelà. 1905; см. также Hahn. 1921. S. 543). Если ${\displaystyle A(f,D_{n})<\infty }$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Арцела на ${\displaystyle D_{n}}$, а класс всех таких функций обозначается ${\displaystyle A(D_{n})}$. Для того чтобы функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ принадлежала классу ${\displaystyle A(D_{n})}$, необходимо и достаточно, чтобы имело место разложение

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-f_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

где ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ – конечные неубывающие на ${\displaystyle D_{n}}$ функции. При этом функция ${\displaystyle f(x)}$ называется неубывающей на ${\displaystyle D_{n}}$, если

${\displaystyle f(x_{1}'',\ldots ,x_{n}'')\geqslant f(x_{1}',\ldots ,x_{n}')}$

при ${\displaystyle a_{k}\leqslant x_{k}'\leqslant x_{k}''\leqslant b_{k}}$ ${\displaystyle (k=1,\ldots ,n)}$. Класс ${\displaystyle A(D_{n})}$ содержит в себе класс функций, имеющих ограниченную вариацию Харди на ${\displaystyle D_{n}}$.