Вариация Пирпонта

Вариа́ция Пи́рпонта (вариация Пьерпонта), одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, ${\displaystyle \ n=2,3,\ldots }$, задана на ${\displaystyle n}$-мерном параллелепипеде

${\displaystyle D_{n}=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}$

и ${\displaystyle \Pi _{k}^{m}}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ – разбиение отрезка ${\displaystyle [a_{k},b_{k}]}$ на ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle m=1,2,\ldots }$, равных между собой отрезков точками

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}=a_{k}^{0}<a_{k}^{1}<\ldots <b_{k}^{m}=b_{k}\\{\bigl (}a_{k}^{s}-a_{k}^{s-1}=(b_{k}-a_{k})/m,\quad s=1,\ldots ,m{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Эти разбиения порождают разбиение

${\displaystyle \Pi ^{m}=\Pi _{1}^{m}\times \ldots \times \Pi _{n}^{m}}$

параллелепипеда ${\displaystyle D_{n}}$ на ${\displaystyle m^{n}}$ параллелепипедов ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{m^{n}}}$ с рёбрами, параллельными координатным осям.

Пусть

${\displaystyle \Omega (f,\Pi ^{m})=\sum _{j=1}^{m^{n}}\omega (f,d_{j})}$,

где ${\displaystyle \omega (f,d_{j})}$ – колебание функции ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle d_{j}}$. Тогда

${\displaystyle P(f,D_{n}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup _{m}\sup _{\Pi ^{m}}{\frac {1}{m^{n-1}}}\Omega (f,\Pi ^{m})}$.

Если ${\displaystyle P(f,D^{n})<\infty }$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Пирпонта на ${\displaystyle D_{n}}$, а класс всех таких функций обозначается через ${\displaystyle P(D_{n})}$. Это определение предложил Дж. Пирпонт (^[1]). Класс ${\displaystyle P(D_{n})}$ содержит в себе класс ${\displaystyle A(D_{n})}$ функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на ${\displaystyle D_{n}}$.