Вариация Фреше

Вариа́ция Фреше́, одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть действительнозначная функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ задана на ${\displaystyle n}$-мерном параллелепипеде

${\displaystyle D_{n}=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}$

и введены обозначения

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{h_{k}}(f;x)=f(x_{1},\ldots ,x_{k}+h_{k},\ldots ,x_{n})-\\&-f(x_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n}),\quad k=1,\ldots ,n,\\\Delta _{h_{1}\ldots h_{k}}(f;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}\ldots h_{k-1}};x),\quad k=2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$

Пусть ${\displaystyle \Pi }$ – произвольное разбиение параллелепипеда ${\displaystyle D_{n}}$ гиперплоскостями

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{s}=x_{s}^{(r_{s})}\quad {\bigl (}x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},\%{s+1}-{\text{индекс}}!\quad x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}=h_{s}^{(r_{s})},\\x_{s}^{(0)}=a_{s},\quad x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\\r_{s}=0,1,\ldots l_{s}-1,\quad s=1,2,\ldots ,n{\bigr )}\%{\text{исп}}.l_{s}{\text{на}}l_{s}-1({\text{ср}}.{\text{сумму далее}})\end{aligned}}}$

на ${\displaystyle n}$-мерные параллелепипеды, a ${\displaystyle \varepsilon _{1}^{(r_{1})},\ldots ,\varepsilon _{n}^{(r_{n})}}$ могут принимать значения ${\displaystyle \pm 1}$ произвольным образом. Вариация Фреше определяется так:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(f;D_{n}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\\{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\varepsilon }\sup _{\Pi }{\biggl |}\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\varepsilon _{1}^{(r_{1})}\cdot \ldots \cdot \varepsilon _{n}^{(r_{n})}\times \\\times \Delta _{h_{1}^{(r_{1})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;x_{1}^{(r_{1})},\ldots x_{n}^{(r_{n})}){\biggr |}.\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle F(f;D_{n})<\infty }$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на ${\displaystyle D_{n}}$, а класс всех таких функций обозначается через ${\displaystyle F(D_{n})}$. Этот класс при ${\displaystyle n=2}$ введён М. Фреше (^[1]) в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала ${\displaystyle U(\varphi _{1},\varphi _{2})}$ в пространстве непрерывных на квадрате ${\displaystyle Q_{2}=[a,b]\times [a,b]}$ функций вида ${\displaystyle \varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})}$. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

${\displaystyle U(\varphi _{1},\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{x_{1}}d_{x_{2}}u(x_{1},x_{2})}$,

где ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})\in F(Q_{2})}$ и ${\displaystyle u(a,x_{2})\equiv u(x_{1},b)\equiv 0}$.

Для ${\displaystyle 2\pi }$-периодических функций класса ${\displaystyle F(Q_{n})}$ (${\displaystyle Q_{n}=[0,2\pi ]\times \ldots \times [0,2\pi ]}$) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье (^[2]). Например, если ${\displaystyle f(x)\in F(Q_{n})}$, ${\displaystyle n=2,3,\ldots }$, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$ в каждой точке ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ сходятся к числу

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}\sum f(x{\pm }0,\ldots ,x_{n}{\pm }0)}$,

где суммирование распространяется на все ${\displaystyle 2^{n}}$ возможные комбинации знаков ${\displaystyle \pm }$. При этом если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна, то сходимость равномерная (аналог признака Жордана).