Вариация Харди

Вариа́ция Ха́рди, одна из числовых характеристик функции нескольких переменных. Пусть ${\displaystyle f(x)=f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$, ${\displaystyle n=2,3,\ldots }$, – функция на ${\displaystyle n}$-мерном параллелепипеде

${\displaystyle D_{n}=\left[a_{1},b_{1}\right]\times \ldots \times \left[a_{n},b_{n}\right]}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{h_{k}}(f;x)=f\left(x_{1},\ldots ,x_{k}+h_{k},\ldots ,x_{n}\right)-\\&\quad -f\left(x_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n}\right),\quad k=1,\ldots ,n,\\\Delta _{h_{1},\ldots ,h_{k}}(f;x)=\Delta _{h_{k}}\left(\Delta _{h_{1}},\ldots ,h_{k-1};x\right),\quad k=2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$

Пусть, далее, ${\displaystyle \Pi }$ – произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{s}=x_{s}^{\left(r_{s}\right)},\quad r_{s}=0,1,\ldots ,l_{s},\quad s=1,2,\ldots ,n,\\x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},\,\,x_{s}^{(0)}=a_{s},\,\,x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\,\,x_{s}^{\left(r_{s}+1\right)}-x_{s}^{(r_{s})}=h_{s}^{\left(r_{s}\right)}\end{aligned}}}$

на ${\displaystyle n}$-мерные параллелепипеды и ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}}$ – класс всех функций ${\displaystyle f(x)}$, для которых

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(f)=\sup _{\pi }\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\left|\Delta _{h_{1}^{(r_{1})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}\left(f;x_{1}^{(r_{1})},\ldots ,x_{n}^{(r_{n})}\right)\right|<\infty }$.

Пусть теперь ${\displaystyle \alpha =\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{s}\right)}$, ${\displaystyle s=1,\ldots ,n-1}$, – целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам ${\displaystyle 1\leqslant \alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{s}\leqslant n}$ и ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ – целочисленный вектор размерности ${\displaystyle n-s}$ такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$, которые не содержатся среди ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{s}}$. Тогда каждую точку ${\displaystyle x\in D_{n}}$ можно записать в виде ${\displaystyle x=\left(x^{\alpha },x^{\bar {\alpha }}\right)}$. Если координаты ${\displaystyle x_{\alpha _{1}},\ldots ,x_{\alpha _{s}}}$ точки ${\displaystyle x\in D_{n}}$ фиксированы на значениях ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}_{\alpha _{1}},\ldots ,{\stackrel {\circ }{x}}_{\alpha _{s}}}$, то будем писать: ${\displaystyle x=\left({\stackrel {\circ }{x}}^{\alpha },x^{\bar {\alpha }}\right)}$.

Вариация Харди функции ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle D_{n}}$:

${\displaystyle H\left(f,D_{n}\right){\stackrel {\operatorname {def} }{=}}\sup _{\alpha }\sup _{{\stackrel {\circ }{x}}^{\alpha }}{\tilde {H}}_{n-s}\left(f\left({\stackrel {\circ }{x}}^{\alpha },{\bar {x}}^{\bar {\alpha }}\right)\right)}$.

Если ${\displaystyle H\left(f,D_{n}\right)<\infty }$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде ${\displaystyle D_{n}}$, а класс всех таких функций обозначается ${\displaystyle H\left(D_{n}\right)}$. Этот класс при ${\displaystyle n=2}$ был введён Г. Харди (^[1]) (см. также ^[2]) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$ класса ${\displaystyle H\left(Q_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(Q_{2}=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]\right)}$, имеющей период ${\displaystyle 2\pi }$ по каждой переменной, сходятся в каждой точке ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$ к числу

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{4}}\left\{f\left(x_{1}+0,x_{2}+0\right)+f\left(x_{2}+0,x_{2}-0\right)+\right.\\&\left.\quad +f\left(x_{1}-0,x_{2}+0\right)+f\left(x_{1}-0,x_{2}-0\right)\right\},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle f\left(x_{1}\pm 0,x_{2}\pm 0\right){\stackrel {\text{def}}{=}}\lim _{\varepsilon _{1}\rightarrow +0,\varepsilon _{2}\rightarrow +0}f\left(x_{1}\pm \varepsilon _{1},x_{2}\pm \varepsilon _{2}\right)}$.

Для того чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$ входила в класс ${\displaystyle H\left(D_{n}\right)}$, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)}$, где ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ такие конечные на ${\displaystyle D_{n}}$ функции, что ${\displaystyle \Delta _{h_{1},\ldots ,h_{k}}(f;x)\geqslant 0}$, ${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$, при всех ${\displaystyle x\in D_{n}}$ и допустимых приращениях ${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{n}}$. Класс ${\displaystyle H\left(D_{n}\right)}$ содержится в классе ${\displaystyle {A}\left(D_{n}\right)}$ функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на ${\displaystyle D_{n}}$.