Вариация Витали

Вариа́ция Вита́ли, одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle (n=2,3,\ldots )}$ задана на ${\displaystyle n}$-мерном параллелепипеде

${\displaystyle D_{n}=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}$.

Введём обозначения

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{h_{k}}(f;x)=f(x_{1},\ldots ,x_{k}+h_{k},\ldots ,x_{n})-\\&-f(x_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n}),\quad k=1,\ldots ,n,\\\Delta _{h_{1}\ldots h_{k}}(f;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}\ldots h_{k-1}};x),\quad k=2,\ldots ,n.\end{aligned}}}$

Пусть ${\displaystyle \Pi }$ – произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{s}=x_{s}^{(r_{s})},\quad x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s+1})},\%{s+1}-{\text{индекс}}!\quad x_{s}^{(r_{s+1})}-x_{s}^{(r_{s})}=h_{s}^{(r_{s})},\\x_{s}^{(0)}=a_{s},\quad x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\\r_{s}=0,1,\ldots l_{s}-1,\quad s=1,2,\ldots ,n.\%{\text{исп}}.l_{s}{\text{на}}l_{s}-1({\text{ср}}.{\text{сумму далее}})\end{aligned}}}$

на ${\displaystyle n}$-мерные параллелепипеды. Обозначим через ${\displaystyle V(f)}$ точную верхнюю грань сумм вида

${\displaystyle \sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\left|\Delta _{h_{1}^{(r_{1})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}{\bigl (}f;x_{1}^{(r_{1})},\ldots x_{n}^{(r_{n})}{\bigr )}\right|}$ (*),

взятую по всевозможным разбиениям ${\displaystyle \Pi }$. Если ${\displaystyle V(f)<\infty }$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Витали на ${\displaystyle D_{n}}$, а класс всех таких функций обозначается через ${\displaystyle V(D_{n})}$ или просто через ${\displaystyle V}$. Этот класс был определён Дж. Витали (^[1]). Позже это же определение вариации было предложено А. Лебегом (^[2]) и М. Фреше (Fréchet. 1910).

Действительнозначная функция ${\displaystyle f(x)}$, заданная на ${\displaystyle D_{n}}$, принадлежит классу ${\displaystyle V(D_{n})}$ тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)}$, где функции ${\displaystyle f_{1}(x)}$ и ${\displaystyle f_{1}(x)}$ таковы, что для каждой из них суммы вида (*), взятые без знака модуля, неотрицательны (Hahn. 1921) (аналог разложения Жордана функции ограниченной вариации одного переменного). С помощью функций класса ${\displaystyle V(D_{n})}$ вводится многомерный интеграл Стилтьеса. В частности, для любой непрерывной на ${\displaystyle D_{n}}$ функции ${\displaystyle g(x)}$ и любой функции ${\displaystyle f(x)}$ из класса ${\displaystyle V(D_{n})}$ существует интеграл ${\displaystyle \displaystyle \int _{D_{n}}g(x)\,df(x)}$ (см. Fréchet. 1910. P. 247 и ^[3]С. 144).