Показательная функция

Показа́тельная фу́нкция (экспоненциальная функция, экспонента), функция

${\displaystyle y=e^{z}\equiv \exp z}$,

где число ${\displaystyle e}$ – основание натуральных логарифмов, для любого значения ${\displaystyle z}$ (действительного или комплексного) определяется соотношением

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$ (1)

Её основные свойства

${\displaystyle e^{z_{1}}e^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}\quad {\text{и}}\quad (e^{z_{1}})^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}}$

при любых значениях ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$.

В курсе математического анализа рассматриваются показательные функции ${\displaystyle y=a^{x}}$ при действительных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle a\neq 1}$; она связана с (основной) показательной функцией ${\displaystyle y=e^{x}}$ соотношением

${\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}}$.

Показательная функция ${\displaystyle y=a^{x}}$ определена при всех ${\displaystyle x}$, положительна, монотонна (возрастает, если ${\displaystyle a>1}$, и убывает, если ${\displaystyle 0<a<1}$), непрерывна, бесконечно дифференцируема; при этом

${\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a,\quad \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$,

в частности

${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}\ln a,\quad \int e^{x}dx=e^{x}+C;}$

в окрестности каждой точки показательная функция может быть разложена в степенной ряд, например:

${\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\ldots \equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\quad -\infty <x<\infty .}$ (2)

График показательной функции (экспоненциальная кривая) проходит через точку ${\displaystyle (0,1)}$ и асимптотически приближается к оси ${\displaystyle Ox}$ (рис., где даны графики функций ${\displaystyle y=e^{x}}$, ${\displaystyle y=\left({1}/{e}\right)^{x}}$, ${\displaystyle y=10^{x}}$, ${\displaystyle y=\left({1}/{10}\right)^{x}}$, ${\displaystyle y=2^{x}}$, ${\displaystyle y=\left({1}/{2}\right)^{x}}$); график показательной функции ${\displaystyle y=a^{x}}$ симметричен графику показательной функции ${\displaystyle y=(1/a)^{x}}$ относительно оси ординат. Если ${\displaystyle a>1}$, то ${\displaystyle a^{x}}$ при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ возрастает быстрее любой степени ${\displaystyle x}$, а при ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ стремится к нулю быстрее любой степени ${\displaystyle 1/x}$, т. е. для любого ${\displaystyle b>0}$,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {a^{x}}{x^{b}}}=\infty ,\quad \lim _{x\rightarrow -\infty }\left|x\right|^{b}a^{x}=0}$.

Обратной к показательной функции является логарифмическая функция.

Показательная функция часто встречается в приложениях, когда скорость изменения какой-либо величины прямо пропорциональна самой величине, т. е.

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=py}$.

Решением этого дифференциального уравнения является показательная функция ${\displaystyle y=Ce^{pt}}$, где ${\displaystyle C}$ – постоянная. При ${\displaystyle C>0}$, ${\displaystyle p>0}$ эта функция при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ экспоненциально возрастает и выражает т. н. закон естественного роста, например рост числа бактерий, увеличение денежного вклада при постоянном процентном приращении. При ${\displaystyle C>0}$, ${\displaystyle p<0}$ показательная функция при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ экспоненциально стремится к нулю. С помощью этой функции описываются процесс радиоактивного распада, затухание колебаний и т. п.

При комплексных ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle z=x+iy}$ показательная функция ${\displaystyle a^{z}}$ связана с (основной) показательной функцией ${\displaystyle e^{z}}$ соотношением

${\displaystyle a^{z}=e^{z\,{\text{Ln}}\,a}}$,

где ${\displaystyle {\text{Ln}}\,a}$ – логарифм комплексного числа ${\displaystyle a}$. Показательная функция ${\displaystyle e^{z}}$ – целая трансцендентная функция и является аналитическим продолжением показательной функции ${\displaystyle e^{x}}$ с действительной оси в комплексную плоскость.

Помимо формулы (1), показательная функция может быть определена также с помощью ряда (2), сходящегося во всей комплексной плоскости, или по формуле Эйлера

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$.

Справедливы равенства

${\displaystyle |e^{z}|=e^{x},\quad {\text{Arg}}\,e^{z}=y+2k\pi ,\,k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

Показательная функция ${\displaystyle e^{z}}$ – периодическая с периодом ${\displaystyle 2\pi i}$, т. е. ${\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z}}$. Показательная функция ${\displaystyle e^{z}}$ принимает все комплексные значения, за исключением нуля; уравнение ${\displaystyle e^{z}=a}$ имеет бесконечное множество решений для любого комплексного числа ${\displaystyle a\neq 0}$, эти решения находятся по формуле

${\displaystyle z={\text{Ln}}\,a=\ln |a|+i{\text{Arg}}\,a}$.

Показательная функция ${\displaystyle e^{z}}$ – одна из основных элементарных функций. Через неё выражаются, например, тригонометрические функции и гиперболические функции. Показательная функция комплексного переменного играет важную роль в приложениях, например в теории рядов и интегралов Фурье, в теории колебаний и распространения волн.