Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции, функции, определяемые формулами:

${\displaystyle \operatorname {sh} \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},\quad \operatorname {ch} \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$,

где ${\displaystyle e}$ – основание натуральных логарифмов ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$. Функции ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ и ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$ называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. Рассматриваются также гиперболический тангенс

${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {{\text{sh}}\ x}{{\text{ch}}\ x}}}$,

где ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$, и гиперболический котангенс

${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}}$,

где ${\displaystyle x\neq 0}$. Графики гиперболических функций см. на рис. 1, 2.

Гиперболические функции связаны соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями, например

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1,\quad \operatorname {th} x\operatorname {cth} x=1,\\\operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\operatorname {ch} y\pm \operatorname {ch} x\operatorname {sh} y,\\\operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} x\operatorname {sh} y.\end{aligned}}}$

Гиперболические функции можно выразить через тригонометрические функции мнимого аргумента:

${\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix)}$,

где ${\displaystyle i}$ – мнимая единица.

Гиперболические функции можно получить, рассматривая равнобочную гиперболу ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$, которая задаётся параметрически уравнениями ${\displaystyle x={\text{ch}}\,t}$, ${\displaystyle y={\text{sh}}\,t}$ (рис. 3). Тогда длины отрезков ${\displaystyle OB}$ и ${\displaystyle CB}$ равны соответственно ${\displaystyle {\text{ch}}\,t}$ и ${\displaystyle {\text{sh}}\,t}$, а параметр ${\displaystyle t}$ равен удвоенной площади «треугольника» ${\displaystyle OAC}$.

Обратные гиперболические функции задаются формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{arsh}}\,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),\quad -\infty <x<\infty ,\\\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),\quad -\infty <x<\infty ,\\{\text{arch}}\,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\quad x\geq 1,\\{\text{arsh}}\,x={1 \over 2}\ln {{1+x} \over {1-x}},\quad \mid x\mid <1,\\{\text{arcth}}\,x={1 \over 2}\ln {{1+x} \over {1-x}},\quad \mid x\mid >1.\end{aligned}}}$