Обратная функция

Обра́тная фу́нкция, функция ${\displaystyle x=h(y)}$, которая получается из данной функции ${\displaystyle y=f(x)}$, если из соотношения ${\displaystyle f(x)=y}$ выразить ${\displaystyle x}$ через ${\displaystyle y}$. Более подробно это означает следующее. Пусть функция ${\displaystyle y=f(x)}$ определена на множестве ${\displaystyle E}$, и пусть ${\displaystyle E^{\prime }}$ – множество её значений. Обратной по отношению к ${\displaystyle y=f(x)}$ называется такая функция ${\displaystyle x=h(y)}$, которая определена на множестве ${\displaystyle E'}$ и каждому ${\displaystyle y\in E'}$ ставит в соответствие такое ${\displaystyle {\text{х}}\in E}$, что ${\displaystyle f(x)=y}$. Таким образом, для нахождения функции ${\displaystyle x=h(y)}$, обратной к функции ${\displaystyle y=f(x)}$, необходимо решить уравнение ${\displaystyle f(x)=y}$ относительно ${\displaystyle x}$. Например, обратной функцией к ${\displaystyle y=3x}$ является ${\displaystyle x=y/3}$; обратной функцией к ${\displaystyle y=10^{x}}$ является ${\displaystyle x=\lg y}$.

Отображение, задаваемое функцией ${\displaystyle x=h(y)}$, обратной к ${\displaystyle y=f(x)}$, является (левым) обратным к отображению, задаваемому функцией ${\displaystyle y=f(x)}$. При этом имеет место тождество ${\displaystyle f(h(y))\equiv y}$ для всех ${\displaystyle y}$ из множества ${\displaystyle E'}$.

Для функции ${\displaystyle y=f(x)}$ обратная функция ${\displaystyle x=h(y)}$ может быть многозначной. Например, обратной функцией к ${\displaystyle y=x^{2}}$ является ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$, ${\displaystyle y>0}$; обратной функцией к ${\displaystyle y=\operatorname {tg} x}$ является ${\displaystyle x=\operatorname {Arctg} y=\operatorname {arctg} y+k\pi }$, ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$ (см. Обратные тригонометрические функции). Для однозначности обратной функции необходимо и достаточно, чтобы данная функция ${\displaystyle y=f(x)}$ принимала различные значения при различных значениях аргумента, т. е. чтобы ${\displaystyle f(x_{1})\neq f(x_{2})}$ при ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$. Для однозначности обратной функции ${\displaystyle x=h(y)}$ к функции ${\displaystyle y=f(x)}$ достаточно, чтобы ${\displaystyle y=f(x)}$ была строго монотонной функцией. Это условие является и необходимым, если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ определена и непрерывна на числовом промежутке; в этом случае обратная функция также определена, строго монотонна и непрерывна на числовом промежутке. При этом, если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет производную и ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$, то обратная функция ${\displaystyle h(y)}$ также имеет производную и ${\displaystyle h'(y)=1/f'(h(y))}$.

В случае, когда обратная функция к функции ${\displaystyle y=f(x)}$ многозначна, рассматривается такой числовой промежуток, на котором ${\displaystyle y=f(x)}$ строго монотонна, тогда для ${\displaystyle y=f(x)}$ на этом промежутке обратная функция однозначна. Например, для функции ${\displaystyle y=x^{2},\,x\geq 0}$, обратная функция есть ${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$; для ${\displaystyle y=x^{2}}$, ${\displaystyle x\leq 0}$, обратная функция есть ${\displaystyle x=-{\sqrt {y}}}$; для функции ${\displaystyle y=\sin x}$, ${\displaystyle -\pi /2\leq x\leq \pi /2}$, обратная функция есть ${\displaystyle x=\arcsin y}$.

Иногда обратная функция к функции ${\displaystyle y=f(x)}$ обозначается ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$. Если обратная функция однозначна, то ${\displaystyle f^{-1}(f(x))\equiv x}$ при всех ${\displaystyle x}$ из области определения функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f(f^{-1}(x))\equiv x}$ при всех ${\displaystyle x}$ из области определения функции ${\displaystyle f^{-1}(x)}$. Графики (рис.) функций ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$ симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.