Интеграл Фурье

Интегра́л Фурье́, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на каждом конечном отрезке и интеграл ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx}$ сходится, то

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }du\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,u(x-t)\,dt.}$ (1)

Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позднее другими математиками. Формулу ${\displaystyle (1)}$ можно представить в виде

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }[a(u)\cos \,ux+b(u)\sin \,ux]\,du,}$ (2)

где

${\displaystyle {\begin{aligned}a(u)&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,ut\,dt,\\b(u)&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,ut\,dt.\end{aligned}}}$

Формулу ${\displaystyle (2)}$ можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период ${\displaystyle 2T}$, когда ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ , при этом ${\displaystyle a(u)}$ и ${\displaystyle b(u)}$ аналогичны коэффициентам Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$.

Используя комплексные числа, можно заменить формулу ${\displaystyle (1)}$ формулой

${\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }du\int _{-\infty }^{\infty }e^{iu(x-t)f(t)}\,dt}$.

Формулу ${\displaystyle (1)}$ можно преобразовать также к виду

${\displaystyle f(x)=\lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\frac {\sin \lambda (x-t)}{x-t}}\,dt}$ (3)

(простой интеграл Фурье).

Если интегралы в формулах${\displaystyle (2)}$, ${\displaystyle (3)}$ расходятся, то во многих случаях их можно просуммировать к ${\displaystyle f(x)}$ при помощи того или иного метода суммирования (см. Суммирование рядов). При решении многих задач используются формулы интеграла Фурье для функций двух и большего числа переменных.