Формулы Эйлера

Фо́рмулы Э́йлера, формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной функцией:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$
${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$,

где ${\displaystyle i}$ – мнимая единица. Установлена Л. Эйлером (1743). Следствием первой из этих формул является равенство

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$.

Л. Эйлеру принадлежат также многие другие формулы в различных разделах математики. Таковы, например, формула, дающая представление функции ${\displaystyle \sin x}$ в виде бесконечного произведения (см. в ст. "Функция"), установленная им в 1740 г., и тождество Эйлера о простых числах (1737), выражающее дзета-функцию Римана в виде бесконечного произведения.

В теории поверхностей используется формула Эйлера о кривизнах (1760), связывающая кривизну ${\displaystyle k_{n}}$ любого нормального сечения поверхности с её главными кривизнами ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$:

${\displaystyle k_{n}=k_{1}\cos ^{2}\phi +k_{2}sin^{2}\phi }$,

где ${\displaystyle \phi }$ – угол между одним из главных направлений и данным направлением.

В математике используются также формулы, открытые Эйлером, а затем полученные другими математиками. Таковы, например, формулы Эйлера – Фурье для коэффициентов Фурье, установленные Эйлером (1777) и затем систематически (с 1811) использовавшиеся Ж. Фурье для решения задач теплопроводности.