Тригонометрические функции

Тригонометри́ческие фу́нкции, элементарные функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно ${\displaystyle \sin \alpha }$, ${\displaystyle \cos \alpha }$, ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$, ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$, ${\displaystyle \sec \alpha }$, ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$. Используются и другие обозначения, например ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$ (для тангенса), ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$, ${\displaystyle \operatorname {ctg} g\alpha }$ и ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctn} } \alpha }$ (для котангенса), ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$ (для косеканса).

Для наглядного изображения аргументов и значений тригонометрических функций используется тригонометрическая окружность – окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1).

Пусть ${\displaystyle A}$ – точка на тригонометрической окружности, ${\displaystyle \alpha }$ – угол между осью абсцисс и вектором ${\displaystyle OA}$, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс. Если отсчёт ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной.

Тригонометрические функции синус и косинус по определению равны декартовым прямоугольным координатам ${\displaystyle (x_{\alpha },y_{\alpha })}$ точки ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \sin \alpha =y_{\alpha },\qquad \cos {\alpha }=x_{\alpha }}$.

Остальные тригонометрические функции определяются следующими равенствами:

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin {\alpha }}{\cos {\alpha }}},\qquad \operatorname {ctg} \mathrm {\alpha } ={\frac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}},\qquad \sec {\alpha }={\frac {1}{\cos {\alpha }}},\qquad \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin {\alpha }}}}$.

Функции секанс и косеканс используются редко, обычно их выражают через синус и косинус.

В тригонометрии угол как вещественный аргумент тригонометрических функций принято измерять в угловых градусах или в радианах. Аргумент изменяется от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$. Чаще используется радианное измерение, при этом обозначение «радиан» опускается и тригонометрические функции считаются функциями числового аргумента. При радианном измерении считается, что ${\displaystyle \alpha }$ есть взятая с соответствующим знаком длина дуги единичной окружности, соединяющей точки ${\displaystyle (1,0)}$ и ${\displaystyle A}$, при этом допускается, что эта дуга, прежде чем закончиться в точке ${\displaystyle A}$, делает несколько полных оборотов. Точку ${\displaystyle A}$ называют ещё точкой ${\displaystyle \alpha }$, при этом нужно иметь в виду, что числам ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \alpha +2k\pi }$, ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ соответствует одна и та же точка единичной окружности. Точки окружности делятся на четверти (квадранты), в каждой четверти тригонометрические функции имеют определённый знак (рис. 2).

Знаки тригонометрических функций приведены в таблице 1.

Таблица 1

${\displaystyle {\text{Четверть}}}$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$
${\displaystyle {\text{I}}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle +}$
${\displaystyle {\text{II}}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle +}$
${\displaystyle {\text{III}}}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$
${\displaystyle {\text{IV}}}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$

В таблице 2 приведены значения тригонометрических функций некоторых углов.

Таблица 2

${\displaystyle {\alpha ,}{\text{ радианы}}}$	${\displaystyle {0}}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\dfrac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
${\displaystyle {\alpha ,}{\text{ градусы}}}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -}$
${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\dfrac {2}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {2}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -}$

Для углов, величины которых лежат между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle {\dfrac {\pi }{2}}}$, значения тригонометрических функций можно определять как отношения сторон прямоугольного треугольника. На рис. 3 показан прямоугольный треугольник с катетами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и гипотенузой ${\displaystyle c}$.

Для угла ${\displaystyle \alpha }$, противолежащего катету ${\displaystyle a}$, справедливы следующие равенства:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}},\quad \cos \alpha ={\frac {b}{c}},\quad \operatorname {tg} \alpha ={\frac {a}{b}},\quad \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {b}{a}},\quad \sec \alpha ={\frac {c}{b}},\quad \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {c}{a}}}$.

На рис. 4 показано представление тригонометрических функций как отрезков, связанных с единичной окружностью:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha =AB,\quad \cos \alpha =OB,\quad \operatorname {tg} \alpha =CD,\quad \operatorname {ctg} \alpha =EF,\\\sec \alpha =OC,\quad \operatorname {cosec} \alpha =OF.\end{aligned}}}$

С этими отрезками связано происхождение названий тригонометрических функций. Так, латинское слово tangens означает «касающийся» (${\displaystyle CD}$ – отрезок касательной к окружности), латинское secans означает «секущая» (${\displaystyle OC}$ – отрезок секущей к окружности). Название «синус» (лат. sinus – пазуха) – перевод арабского слова «джайб», являющегося, по-видимому, искажением санскритского слова «джива» (буквально – тетива лука), которым индийские математики обозначали синус. Названия «косинус», «котангенс» и «косеканс» происходят от сокращённого слова complementi (дополнение). Например, «косинус» – от complementi sinus («синус дополнения»). Это связано с тем, что ${\displaystyle \cos {\alpha }}$, ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$ и ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$ равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента, дополняющего ${\displaystyle \alpha }$ до ${\displaystyle {\dfrac {\pi }{2}}}$:

${\displaystyle \cos \alpha =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right),\qquad \operatorname {ctg} \alpha =\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right),\qquad \operatorname {cosec} \alpha =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$.

Тригонометрические функции ${\displaystyle \sin {\alpha }}$ и ${\displaystyle \cos {\alpha }}$ определены при всех действительных ${\displaystyle \alpha }$, множество значений этих функций – отрезок${\displaystyle [-1,1]}$. Функция ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$ определена при всех действительных ${\displaystyle \alpha }$, таких, что ${\displaystyle \alpha \neq {\dfrac {\pi }{2}}+k\pi ,\ k=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ldots }$ Функция ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$ определена при всех действительных ${\displaystyle \alpha }$, таких, что ${\displaystyle \alpha \neq k\pi ,\ k=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ldots }$ Множеством значений функций ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$ и ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$ является множество всех действительных чисел.

Все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Наименьший положительный период функций синус и косинус равен ${\displaystyle 2\pi }$, т. е. для любого действительного ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sin \left(\alpha +2\pi \right)=\sin \alpha ,\qquad \cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \alpha }$.

Наименьший положительный период функций тангенс и котангенс равен ${\displaystyle \pi }$, т. е. для любого действительного ${\displaystyle \alpha }$ из области определения этих функций

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +\pi \right)=\operatorname {tg} \alpha ,\qquad \operatorname {ctg} \left(\alpha +\pi \right)=\operatorname {ctg} \alpha }$.

Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Производные и интегралы от тригонометрических функций задаются следующими формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\sin \alpha )'=\cos \alpha ,\qquad (\cos \alpha )'=-\sin \alpha ,(\operatorname {tg} \alpha )'={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},\qquad (\operatorname {ctg} \alpha )'={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }},\\{\begin{aligned}\int \sin \alpha \,d\alpha =-\cos \alpha +C,\\\int \cos \alpha \,d\alpha =\sin \alpha +C,\\\int \operatorname {tg} \alpha \,d\alpha =-\ln \,\mid \cos \alpha \mid +C,\\\int \operatorname {ctg} \alpha \,d\alpha =\ln \,\mid \sin \alpha \mid +C,\end{aligned}}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle C}$ – постоянная.

Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. Ряды для синуса и косинуса имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\alpha }=\alpha -{\frac {\alpha ^{3}}{3!}}+{\frac {\alpha ^{5}}{5!}}-\ldots +{(-1)}^{n}{\frac {\alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}+\ldots ,\\\cos {\alpha }=1-{\frac {\alpha ^{2}}{2!}}+{\frac {\alpha ^{4}}{4!}}-\ldots +{(-1)}^{n}{\frac {\alpha ^{2n}}{(2n)!}}+\ldots \end{aligned}}}$

Эти ряды сходятся при всех действительных ${\displaystyle \alpha }$, отрезки этих рядов можно использовать для получения приближённых значений синуса и косинуса при малых значениях аргумента:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\alpha }&\approx \alpha -{\frac {\alpha ^{3}}{6}}\approx \alpha ,\\\cos {\alpha }&\approx 1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+{\frac {\alpha ^{4}}{24}}\approx 1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

Ряды для тангенса и котангенса имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} \alpha =\alpha +{\frac {\alpha ^{3}}{3}}+{\frac {{2\alpha }^{5}}{15}}+{\frac {{17\alpha }^{7}}{315}}+...,\qquad |\alpha |<{\frac {\pi }{2}},\\\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {1}{\alpha }}-{\frac {\alpha }{3}}-\ {\frac {\alpha ^{3}}{45}}-{\frac {{2\alpha }^{5}}{945}}-...,\qquad 0<|\alpha |<\pi .\ \ \ \end{aligned}}}$

Функции, обратные тригонометрическим функциям (обратные тригонометрические функции), являются многозначными; для их обозначения используется префикс ${\displaystyle \mathrm {Arc} }$ (например, ${\displaystyle \mathrm {Arcsin} }$, ${\displaystyle \mathrm {Arccos} }$). Для обозначения главных ветвей этих функций используется префикс ${\displaystyle \mathrm {arc} }$ (например, ${\displaystyle \arcsin }$, ${\displaystyle \arccos }$).

Тригонометрические функции определяются также для комплексных значений аргумента как аналитические продолжения тригонометрических функций действительного аргумента, либо с помощью формул Эйлера их можно определить через экспоненту.

Тригонометрические функции появились в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся, по существу, тригонометрическими функциями, встречаются уже в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являлись у них самостоятельным объектом исследования, так что тригонометрические функции как таковые ими не изучались. Тригонометрические функции рассматривались как отрезки и в таком виде применялись Аристархом Самосским, Гиппархом, Менелаем и Птолемеем при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через ${\displaystyle 30^{\prime }}$ с точностью до ${\displaystyle 10^{-6}}$; это была первая таблица синусов. Формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения выводились Региомонтаном и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан составил таблицу синусов через ${\displaystyle 1^{\prime }}$. Разложения тригонометрических функций в степенные ряды были получены И. Ньютоном в 1669 г. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл Л. Эйлер, который предложил и принятую ныне символику.