Интегральное преобразование

Интегра́льное преобразова́ние, функциональное преобразование вида

${\displaystyle \displaystyle F(x)=\int _{C}K(x,t)f(t)\,dt}$,

где ${\displaystyle C}$ – конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, ${\displaystyle K(x,t)}$ – ядро интегрального преобразования. Наиболее часто рассматриваются интегральные преобразования, для которых ${\displaystyle K(x,t)\equiv K(xt)}$ и ${\displaystyle C}$ – действительная ось или её часть ${\displaystyle (a,b)}$. Если ${\displaystyle -\infty <a,b<\infty }$, то интегральное преобразование называется конечным интегральным преобразованием. Формулы, позволяющие восстановить функцию ${\displaystyle f(t)}$ по известной ${\displaystyle F(x)}$, называются формулами обращения интегрального преобразования.</a,b<\infty<></math>

Примеры интегральных преобразований:

Преобразование Бохнера:

${\displaystyle \displaystyle [Tf](r)=2\pi r^{1-n/2}\int _{0}^{\infty }J_{n/2-1}(2\pi r\rho )\rho ^{n/2}f(\rho )\,d\rho }$,

где ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$ – функция Бесселя 1-го рода порядка ${\displaystyle \nu }$. Формула обращения: ${\displaystyle f=T^{2}f}$.

Равенство Парсеваля:

${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|\left[T^{\prime }f\right](r)\right|^{2}r^{k-1}\,dr=\int _{0}^{\infty }\mid f(\rho )\mid ^{2}\rho ^{k-1}\,d\rho }$.

Преобразование Вебера:

${\displaystyle \displaystyle F(u,a)=\int _{a}^{\infty }c_{\nu }(tu,au)tf(t)\,dt,\quad a\leqslant t<\infty }$,

где ${\displaystyle c_{\nu }(\alpha ,\beta )\equiv J_{\nu }(\alpha )Y(\beta )-Y_{\nu }(\alpha )J_{\nu }(\beta )}$, ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$, ${\displaystyle Y_{\nu }(x)}$ – функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Формула обращения:

${\displaystyle \displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {c_{\nu }(xu,au)}{J_{\nu }^{2}(au)+\mathbf {Y} _{\nu }^{2}(au)}}uF(u,a)\,du}$.

При ${\displaystyle a\rightarrow 0}$ преобразование Вебера переходит в преобразование Ганкеля:

${\displaystyle \displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {xt}}J_{\nu }(xt)f(t)\,dt,\quad 0<x<\infty }$.

При ${\displaystyle \nu =\pm 1/2}$ это преобразование сводится к синус- и косинус-преобразованиям Фурье. Формула обращения: если ${\displaystyle f\in L_{1}(0,\infty )}$, ${\displaystyle f(t)}$ имеет ограниченную вариацию в окрестности точки ${\displaystyle t_{0}>0}$ и ${\displaystyle \nu \geqslant -1/2}$, то

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}\left[f\left(t_{0}+0\right)+f\left(t_{0}-0\right)\right]=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {t_{0}x}}J_{\nu }\left(t_{0}x\right)F(x)\,dx}$.

Равенство Парсеваля: если ${\displaystyle \nu \geqslant -1/2}$, ${\displaystyle F(x)}$ и ${\displaystyle G(x)}$ – преобразования Ганкеля функций ${\displaystyle f(t)}$ и ${\displaystyle g(t)}$, причём ${\displaystyle f,G\in L_{1}(0,\infty )}$, тo

${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)g(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }F(x)G(x)\,dx}$.

Другие формы преобразования Ганкеля:

${\displaystyle \displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(xt)tf(t)\,dt,\quad \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(2{\sqrt {xt}})f(t)\,dt}$.

Преобразование Вейерштрасса:

${\displaystyle \displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-(x-t)^{2}/4\right]f(t)\,dt}$

является частным случаем преобразования свёртки.

Цепные преобразования. Пусть

${\displaystyle \displaystyle f_{i+1}(x)=\int _{0}^{\infty }f_{i}(t)K_{i}(xt)\,dt,\quad i=1,2,\ldots ,n}$,

причём ${\displaystyle f_{n+1}(x)=f_{1}(x)}$. Такая последовательность интегральных преобразований называется цепочкой интегральных преобразований. При ${\displaystyle n=2}$ цепные интегральные преобразования часто называются преобразованиями Фурье.

Кратные (многомерные) интегральные преобразования – преобразования вида (1), где ${\displaystyle t,x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle C}$ – некоторая область ${\displaystyle n}$-мерного комплексного евклидова пространства.

Интегральные преобразования обобщённых функций могут быть построены следующими основными способами:

1) Строится пространство основных функций ${\displaystyle U}$, содержащее ядро ${\displaystyle K(x,t)}$ рассматриваемого интегрального преобразования ${\displaystyle T}$. Преобразование ${\displaystyle Tf}$ для любой обобщённой функции ${\displaystyle f(t)\in U^{\prime }}$ определяется как значение функционала ${\displaystyle f}$ на основной функции ${\displaystyle K(x,t)}$ формулой

${\displaystyle T[f(t)](x)=\langle f,K(x,t)\rangle }$.

2) Строится пространство основных функций ${\displaystyle U}$, на котором определено классическое интегральное преобразование ${\displaystyle T}$, отображающее ${\displaystyle U}$ на некоторое пространство основных функций ${\displaystyle V}$. Интегральное преобразование ${\displaystyle T^{\prime }f}$ обобщённой функции ${\displaystyle f\in V^{\prime }}$ вводится равенством

${\displaystyle \left\langle T^{\prime }f,\varphi \right\rangle =\langle f,T\varphi \rangle ,\quad \varphi \in U}$.

3) Рассматриваемое интегральное преобразование выражается через другое интегральное преобразование, которое определено для обобщённых функций.

См. также преобразование Ватсона, преобразование Гаусса, преобразование Гегенбауэра, преобразование Конторовича–Лебедева, преобразование Мейера, преобразование Мелера–Фока, преобразование Меллина, преобразование cвёртки, преобразование Стилтьеса, преобразование Уиттекера, преобразование Фурье, преобразование Харди, преобразование Эйлера, преобразование Эрмита, преобразование Якоби.