Преобразование Мейера

Преобразова́ние Ме́йера, интегральное преобразование вида

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }e^{-xt/2}(xt)^{-\mu -1/2}W_{\mu +1/2,\nu }(xt)f(t)\,dt}$,

где ${\displaystyle W_{\mu ,\nu }(x)}$ – функция Уиттекера. Формула обращения имеет вид

${\displaystyle f(t)=\lim _{\lambda ->+\infty }{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (1-\mu +\nu )}{\Gamma (1+2\nu )}}\int _{\beta -i\lambda }^{\beta +i\lambda }e^{xt/2}(xt)^{\mu -1/2}M_{\mu -1/2,\nu }(xt)F(x)\,dx}$,

где ${\displaystyle M_{\mu ,\nu }(x}$) – функция Уиттекера.

При ${\displaystyle \mu =\pm \nu }$ преобразование Мейера переходит в преобразование Лапласа; при ${\displaystyle \mu =-1/2}$ – в ${\displaystyle K_{\nu }}$-преобразование:

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-xt/2}(xt)^{1/2}K_{\nu }(xt/2)f(t)\,dt}$,

где ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$ – функция Макдональда.

К преобразованию Мейера сводится преобразование Варма:

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }(xt)^{\nu -1/2}e^{-xt/2}W_{\mu ,\nu }(xt)f(t)\,dt}$.

${\displaystyle K}$-преобразование Мейера (преобразование Мейера – Бесселя) – интегральное преобразование вида

${\displaystyle F(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }K_{\nu }(xt){\sqrt {xt}}f(t)\,dt}$.

Если функция${\displaystyle f(t)}$ локально интегрируема на ${\displaystyle (0,\infty )}$, имеет ограниченное изменение в окрестности точки ${\displaystyle t=t_{0}>0}$ и сходится интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\beta t}\mid f(t)\mid \,dt,\quad \beta >\alpha \geqslant 0}$,

то имеет место формула обращения

${\displaystyle {\frac {f(t_{0}+0)+f(t_{0}-0)}{2}}={\frac {1}{i{\sqrt {2\pi }}}}\int _{\beta -i\lambda }^{\beta +i\lambda }I_{\nu }(t_{0}x)(t_{0}x)^{1/2}F(x)\,dx}$.

При ${\displaystyle v=\pm 1/2}$ ${\displaystyle K}$-преобразование Мейера переходит в преобразование Лапласа.

Преобразование Мейера введено К. Мейером (Meijer. 1941), ${\displaystyle K}$-преобразование Мейера – им же (Meijer. 1940).