Преобразование Конторовича – Лебедева

Преобразова́ние Конторо́вича – Ле́бедева, интегральное преобразование вида

${\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x)f(x)\,dx}$,

где ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$ – функция Макдональда.

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ограниченное изменение в окрестности точки ${\displaystyle x=x_{0}>0}$ и

${\displaystyle f(x)\ln x\in L\left(0,{\frac {1}{2}}\right),\quad f(x){\sqrt {x}}\in L\left({\frac {1}{2}},\infty \right)}$,

то справедлива формула обращения

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}}={\frac {2}{\pi ^{2}x_{0}}}\int _{0}^{\infty }K_{i\tau }(x_{0})\tau \operatorname {sh} \pi \tau F(\tau )\,d\tau }$.

Пусть ${\displaystyle f_{i}(x)}$, ${\displaystyle i=1,2}$ – действительные функции, причём

${\displaystyle f_{i}(x)x^{-3/4}\in L(0,\infty ),\quad f_{i}(x)\in L_{2}(0,\infty );}$
${\displaystyle F_{i}(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {2\tau \operatorname {sh} \pi \tau }}{\pi }}{\frac {K_{i\tau }(x)}{\sqrt {x}}}f_{i}(x)\,dx.}$

Тогда

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }F_{1}(\tau )F_{2}(\tau )\,d\tau =\int _{0}^{\infty }f_{1}(x)f_{2}(x)\,dx}$

(равенство Парсеваля).

Конечное преобразование Конторовича – Лебедева имеет вид

${\displaystyle F(\tau )={\frac {2\tau \operatorname {sh} \pi \tau }{\pi ^{2}\mid I_{i\alpha }(\alpha )\mid ^{2}}}\int _{0}^{\alpha }\left[K_{i\tau }(\alpha )I_{i\tau }(x)-I_{i\tau }(\alpha )K_{i\tau }(x)\right]f(x){\frac {dx}{x}}}$,

${\displaystyle \tau >0}$, ${\displaystyle I_{v}(x)}$ – модифицированная функция Бесселя.

Исследование таких преобразований было начато М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым.