Преобразование Эйлера

Преобразова́ние Э́йлера, интегральное преобразование вида

${\displaystyle w(z)=\int _{C}(z-t)^{\alpha }v(t)\,dt,}$ (1)

где ${\displaystyle C}$ – контур в комплексной плоскости ${\displaystyle t}$. Предложено Л. Эйлером в 1769 г.

Преобразование Эйлера применяется к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям

${\displaystyle Lw=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}w^{(j)}\sum _{k=0}^{n-j}C_{n+\beta -j-1}^{n-k-j}Q_{i}^{(n-k-i)}(z)=0,}$ (2)

где ${\displaystyle Q_{j}(z)}$ – многочлен степени ${\displaystyle \leqslant n-j}$ и ${\displaystyle \beta }$ – константа. В таком виде можно представить любое линейное уравнение

${\displaystyle P_{n}(z)w^{(n)}+P_{n-1}(z)w^{(n-1)}+\ldots +P_{0}(z)w=0}$,

где ${\displaystyle P_{j}(z)}$ – многочлены степени ${\displaystyle \leqslant j}$, а степень ${\displaystyle P_{n}(z)}$ равна ${\displaystyle n}$. Уравнение

${\displaystyle Mv\equiv \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}(Q_{n-j}(z)v)^{(j)}=0}$

называется преобразованием Эйлера уравнения (2). Если ${\displaystyle w(z)}$ определена формулой (1), причём ${\displaystyle \alpha =\beta +n-1}$, то справедливо тождество

${\displaystyle Lw=\int _{C}(z-t)^{\alpha }M(v)\,dt}$

при условии, что внеинтегральная подстановка, которая возникает при интегрировании по частям, обращается в нуль. Отсюда видно, что если ${\displaystyle M(v)=0}$, то ${\displaystyle w(z)}$ – решение уравнения (2).

Преобразование Эйлера позволяет понизить порядок уравнения (2), если ${\displaystyle Q_{j}(z)=0}$ при ${\displaystyle j>q}$, ${\displaystyle q<n}$. При ${\displaystyle q=0}$, ${\displaystyle q=}$1 уравнение (2) интегрируется (см. уравнение Похгаммера).</n<></math>