Преобразование Эрмита

Преобразова́ние Эрми́та, интегральное преобразование вида

${\displaystyle f(n)=H\{F(x)\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}H_{n}(x)F(x)\,dx,\quad n=0,1,2,\ldots }$,

где ${\displaystyle H_{n}(x)}$ – многочлен Эрмита степени ${\displaystyle n}$. Формула обращения имеет вид

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {f(n)}{2^{n}n!}}H_{n}(x)=H^{-1}\{f(n)\},\quad -\infty <x<\infty }$,

если ряд сходится. Преобразование Эрмита сводит операцию

${\displaystyle R[F(x)]=e^{x^{2}}{\frac {d}{dx}}\left[e^{-x^{2}}{\frac {d}{dx}}F(x)\right]}$

к алгебраической по формуле

${\displaystyle H\{R[F^{\prime }(x)]\}=-2nf(n)}$.

Если функция ${\displaystyle F(x)}$ ограничена вместе со всеми производными до порядка ${\displaystyle p}$ включительно, то

${\displaystyle H\{F^{(p)}(x)\}=f(n+p)}$.

Преобразование Эрмита введено также для специального класса обобщённых функций (Зeманян А. Г., 1974). Оно используется при решении дифференциальных уравнений, содержащих оператор ${\displaystyle R}$.