Преобразование Меллина

Преобразова́ние Ме́ллина, одно из интегральных преобразований. Оно определяется формулой

${\displaystyle M(p)=\int _{0}^{\infty }f(t)t^{p-1}\,dt,\quad p=\sigma +i\tau }$,

сводится к преобразованию Лапласа подстановкой ${\displaystyle t=e^{-z}}$. Преобразование Меллина применяется к решению определённого класса плоских задач на гармонические функции в секториальной области, задач теории упругости и пр.

Теорема обращения. Пусть ${\displaystyle \tau ^{\sigma -1}f(\tau )\in L(0,\infty )}$, причём функция ${\displaystyle f(\tau )}$ имеет ограниченное изменение в окрестности точки ${\displaystyle \tau =t}$. Тогда

${\displaystyle {\ce {{\frac {1}{2}}[f(t+0)-f(t-0)]={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\lambda ->\infty }\int _{\sigma -i\lambda }^{\sigma +i\lambda }M(s)t^{-s}\,ds}}}$.

Tеорема представления. Пусть функция ${\displaystyle M(\sigma +iu)}$ суммируема по ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ и имеет ограниченное изменение в окрестности точки ${\displaystyle u=t}$; тогда

${\displaystyle {\ce {{\frac {1}{2}}[M(\sigma +i(t+0))+M(\sigma +i(t-0))]=\lim _{\lambda ->\infty }\int _{1/\lambda }^{\lambda }f(x)x^{\sigma +it-1}\,dx}}}$,

где

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }M(s)x^{-s}\,ds}$.