Преобразование Якоби

Преобразова́ние Яко́би, интегральное преобразование вида

${\displaystyle J\{F(x)\}=f^{(\alpha ,\beta )}(n)=\int _{-1}^{1}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)F(x)\,dx,\quad n=0,1,2,\ldots }$,

где ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ – многочлен Якоби степени ${\displaystyle n}$; ${\displaystyle \alpha >-1}$, ${\displaystyle \beta >-1}$ – действительные числа. Формула обращения имеет вид

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\delta _{n}^{-1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)f^{(\alpha ,\beta )}(n),\quad -1<x<1}$,

${\displaystyle \delta _{n}={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (\alpha +n+1)\Gamma (\beta +n+1)}{n!(\alpha +\beta +2n+1)\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}}$,

если ряд сходится.

Преобразование Якоби сводит операцию

${\displaystyle T[F(x)]={\frac {d}{dx}}\left\{(1-x^{2}){\frac {dF}{dx}}+[(\alpha -\beta )+(\alpha +\beta )x]{\frac {dF}{dx}}\right\}}$

к алгебраической по формуле

${\displaystyle J\{T[F(x)]\}=-(n+1)(n+\alpha +\beta )f^{(\alpha ,\beta )}(n)+}$
${\displaystyle \quad +\left.\left\{[(\alpha -\beta )+(\alpha +\beta )x]P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)F(x)\right\}\right|_{-1}^{1}.}$

При ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ преобразование Якоби переходит в интегральное преобразование Лежандра, при ${\displaystyle \alpha =\beta =\nu -{\frac {1}{2}}}$ – в преобразование Гегенбауэра.

Преобразование Якоби применяется при решении дифференциальных уравнений, содержащих оператор ${\displaystyle T}$. Преобразование Якоби введено также для специального класса обобщённых функций.