Преобразование Ватсона

Преобразова́ние Ва́тсона, интегральное преобразование ${\displaystyle g(x)}$ функции ${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$, определяемое следующим образом:

${\displaystyle g(x)={\frac {d}{dx}}\int _{0}^{\infty }{\tilde {\omega }}_{1}(xu)f(u){\frac {du}{u}},}$ (1)

где ${\displaystyle x}$ – действительное переменное, ядро ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{1}(x)}$ представляется в виде

${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{1}(x)={\frac {x}{2\pi }}\,{\underset {T\to \infty }{\text{l.i.m.}}}\int _{-T}^{T}{\frac {\Omega \left({\frac {1}{2}}+it\right)}{{\frac {1}{2}}-it}}x^{-{\frac {1}{2}}-it}\,dt}$ (2)

(l.i.m. означает предел в среднем в ${\displaystyle L^{2}}$); причём функция ${\displaystyle \Omega \left({\frac {1}{2}}+it\right)}$ удовлетворяет условию

${\displaystyle \Omega (s)\Omega (1-s)=1}$.

Достаточными условиями существования ядра ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{1}(x)}$ и включения ${\displaystyle {\frac {{\tilde {\omega }}_{1}(x)}{x}}\in L^{2}(0,\infty )}$ являются

${\displaystyle \Omega \left({\frac {1}{2}}-it\right)=\Omega \left({\frac {1}{2}}+it\right)}$

и

${\displaystyle {\frac {\Omega \left({\frac {1}{2}}+i\right)}{{\frac {1}{2}}-it}}\in L^{2}(-\infty ,\infty )}$.

Для функции ${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$ формула (1) определяет почти всюду функцию ${\displaystyle g\in L^{2}(0,\infty )}$. Формула обращения для преобразования Ватсона (1) имеет вид

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}\int _{0}^{\infty }{\tilde {\omega }}_{1}(xu)g(u){\frac {du}{u}}}$.

Преобразование Ватсона названо по имени Дж. Ватсона, впервые рассмотревшего это преобразование.