Преобразование Стилтьеса

Преобразова́ние Сти́лтьеса, интегральное преобразование вида

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+t}}\,dt.}$ (*)

Преобразование Стилтьеса возникает при итерировании преобразования Лапласа и является частным случаем преобразования свёртки.

Одна из формул обращения: если функция ${\displaystyle f(t){\sqrt {t}}}$ непрерывна и ограничена на ${\displaystyle (0,\infty )}$, то

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}}\right)^{2n}\left[x^{2n}F^{(n)}(x)\right]^{(n)}=f(x)}$

на ${\displaystyle x\in (0,\infty )}$.

Обобщённое преобразование Стилтьеса имеет вид

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t){\frac {dt}{(x+t)^{\rho }}}}$,

где ${\displaystyle \rho }$ – комплексное число.

Интегрированное преобразование Стилтьеса имеет вид

${\displaystyle F(x)=\int _{+0}^{\infty }K(x,t)f(t)\,dt}$,

где

${\displaystyle K(x,t)={\begin{cases}{\frac {\ln {\frac {x}{t}}}{x-t}},&t\neq x\\1/x,&t=x.\end{cases}}}$

Преобразования Стилтьеса введены и для обобщённых функций. Преобразование (*) рассмотрено Т. Стилтьесом (Т. Stieltjes, 1894–1895).