Преобразование Гаусса

Преобразова́ние Га́усса, линейное функциональное преобразование ${\displaystyle W(\zeta )[x]}$ функции ${\displaystyle x(t)}$, которое определяется интегралом

${\displaystyle W(\zeta )[x]={\frac {1}{\sqrt {\pi \zeta }}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {u^{2}}{\zeta }}\right)x(t+u)\,du,\quad \operatorname {Re} \zeta >0}$.

Если ${\displaystyle x(t)\in L_{2}(-\infty ,\infty )}$, то ${\displaystyle W(\zeta )[x]\in L_{2}(-\infty ,\infty )}$; для действительных значений ${\displaystyle \zeta =\xi }$ оператор ${\displaystyle W(\zeta )}$ является самосопряжённым положительно определённым оператором. Формула обращения для преобразования Гаусса:

${\displaystyle x(t)=\exp \left\{-{\frac {\zeta }{4}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right\}W(\zeta )[x(t)]}$.

При ${\displaystyle \zeta =4}$ преобразование Гаусса называется преобразованием Вейерштрасса.