Преобразование Харди

Преобразова́ние Ха́рди, интегральное преобразование вида

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }C_{\nu }(xt)tf(t)\,dt}$,

где

${\displaystyle C_{\nu }(z)=\cos p\pi J_{\nu }(z)+\sin p\pi Y_{\nu }(z)}$,

${\displaystyle J_{\nu }(z)}$, ${\displaystyle Y_{\nu }(z)}$ – функции Бесселя 1-го и 2-го рода соответственно. При ${\displaystyle p=0}$ преобразование Харди совпадает с одной из форм преобразования Ганкеля, при ${\displaystyle p=1/2}$ – с ${\displaystyle Y}$-преобразованием. Преобразование Харди предложено Г. Харди.

Формула обращения:

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }\Phi (tx)xF(x)\,dx}$,

где

${\displaystyle \Phi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(x/2)^{\nu +2p+2n}}{\Gamma (p+n+1)\Gamma (nu+p+n+1)}}}$.

Преобразование Харди определено также для некоторых классов обобщённых функций.