Преобразование Мелера – Фока

Преобразова́ние Ме́лера – Фо́ка, интегральное преобразование вида

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }P_{i\tau -1/2}(x)f(\tau )\,d\tau ,\quad 1\leqslant x<\infty ,}$ (1)

где ${\displaystyle P_{\nu }(x)}$ – сферическая функция Лежандра 1-го рода. Если ${\displaystyle f(\tau )\in L[0,\infty )}$, ${\displaystyle \left|f^{\prime }(\tau )\right|}$ локально интегрируема на ${\displaystyle [0,\infty )}$ и ${\displaystyle f(0)=0}$, то имеет место формула обращения

${\displaystyle f(\tau )=\tau \operatorname {th} \pi \tau \int _{1}^{\infty }P_{i\tau -1/2}(x)F(x)\,dx.}$ (2)

Равенство Парсеваля. Пусть преобразование Мелера – Фока определено равенствами

${\displaystyle {\begin{aligned}G(\tau )&=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \operatorname {th} \pi \tau }}P_{i\tau -1/2}(x)g(x)\,dx,\\g(x)&=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \operatorname {th} \pi \tau }}P_{i\tau -1/2}(x)G(\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle g_{i}(x)}$, ${\displaystyle i=1,2,}$ – произвольные действительные функции и выполняются условия

${\displaystyle g_{i}(x)x^{-1/2}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{i}(x)\in L_{2}(1,\infty ),}$

то

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )\,d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}(x)g_{2}(x)\,dx}$.

Обобщённое преобразование Мелера – Фока и формула его обращения имеют вид

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }P_{i\tau -1/2}^{(k)}(x)f(\tau )\,d\tau ,}$ (3)

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\tau )&={\frac {1}{\pi }}\tau \operatorname {sh} \pi \tau \Gamma \left({\frac {1}{2}}-k+ix\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\right)\times \\&\quad \times \int _{1}^{\infty }P_{i\tau -1/2}^{(k)}(x)F(x)\,dx,\end{aligned}}}$ (4)

где ${\displaystyle P_{\nu }^{(k)}(x)}$ – присоединённые функции Лежандра 1-го рода. При ${\displaystyle k=0}$ формулы (3), (4) переходят в (1), (2), при ${\displaystyle k=1/2}$, ${\displaystyle y=\operatorname {ch} \alpha }$ формулы (3), (4) приводят к косинус-преобразованию Фурье, а при ${\displaystyle k=-1/2}$, ${\displaystyle y=\operatorname {ch} \alpha }$ – к синус-преобразованию Фурье. Преобразования (1) и (2) введены Ф. Мелером (1881), основные теоремы доказаны В. А. Фоком (1943).