Преобразование Гегенбауэра

Преобразова́ние Гегенба́уэра, интегральное преобразование ${\displaystyle T\{F(t)\}}$ функции ${\displaystyle F(t)}$:

${\displaystyle T\{F(t)\}=\int _{-1}^{+1}(1-t^{2})^{\rho -1/2}C_{n}^{\rho }(t)F(t)\,dt=f_{n}^{\rho }}$,

где ${\displaystyle \rho >-1/2}$, ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$, а ${\displaystyle C_{n}^{\rho }(t)}$ – многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщённый ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то имеет место формула обращения

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!(n+\rho )\Gamma ^{2}(\rho )2^{2\rho -1}}{\pi \Gamma (n+2\rho )}}C_{n}^{\rho }(t)f_{n}^{\rho },\quad -1<t<1}$.

Преобразование Гегенбауэра сводит дифференциальную операцию ${\displaystyle R[F(t)]=(1-t^{2})F''-(2\rho +1)tF'}$ к алгебраической ${\displaystyle T\{R[F(t)]\}=-n(n+2\rho )f_{n}^{\rho }}$.