Гамма-распределение

Га́мма-распределе́ние, непрерывное, сосредоточенное на положительной полуоси ${\displaystyle 0<x<\infty }$ распределение вероятностей с плотностью

${\displaystyle g_{\lambda }(x)={\frac {1}{\Gamma (\lambda )}}x^{\lambda -1}e^{-x}}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ – параметр, принимающий положительные значения, и ${\displaystyle \Gamma (\lambda )}$ – гамма-функция Эйлера

${\displaystyle \Gamma (\lambda )=\int \limits _{0}^{\infty }y^{\lambda -1}e^{-y}dy}$.

Соответствующая функция распределения при ${\displaystyle x\leqslant 0}$ равна нулю, а при ${\displaystyle x>0}$ выражается формулой

${\displaystyle G_{\lambda }(x)={\frac {1}{\Gamma (\lambda )}}\int \limits _{0}^{x}y^{\lambda -1}e^{-y}dy}$.

Интеграл в правой части называется неполной гамма-функцией. Плотность ${\displaystyle g_{\lambda }(x)}$ унимодальна и при ${\displaystyle \lambda >1}$ достигает максимума

${\displaystyle (\lambda -1)^{\lambda -1}e^{-(\lambda -1)}/\Gamma (\lambda )}$

в точке ${\displaystyle x=\lambda -1}$. При ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ плотность ${\displaystyle g_{\lambda }(x)}$ с ростом ${\displaystyle x}$ монотонно убывает, причём если ${\displaystyle x\to +0}$, то ${\displaystyle g_{\lambda }(x)}$ неограниченно возрастает.Характеристическая функция гамма-распределения имеет вид:

${\displaystyle \varphi (t)=(1-it)^{-\lambda }}$.

Моменты гамма-распределения выражаются формулой:

${\displaystyle m_{k}=\int \limits _{0}^{\infty }x^{k}g_{\lambda }(x)dx={\frac {\Gamma (\lambda +k)}{\Gamma (\lambda )}},\quad k>-\lambda }$;

в частности, математическое ожидание и дисперсия равны ${\displaystyle \lambda }$. Гамма-распределение замкнуто относительно операции свёртки:

${\displaystyle g_{\lambda _{1}}\ast g_{\lambda _{2}}=g_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$.

Гамма-распределения играют не всегда явную, но значительную роль в приложениях. В частном случае ${\displaystyle \lambda =1}$ получается показательная плотность. В теории массового обслуживания гамма-распределение при ${\displaystyle \lambda }$, принимающем целочисленные значения, называется распределением Эрланга.

В математической статистике гамма-распределение часто встречаются благодаря тесной связи с нормальным распределением, т. к. сумма квадратов ${\displaystyle \chi ^{2}=X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}}$ взаимно независимых ${\displaystyle (0,1)}$ нормально распределённых случайных величин имеет плотность ${\displaystyle 0,5g_{n/2}(x/2)}$ и называется хи-квадрат плотностью с ${\displaystyle n}$ степенями свободы. Ввиду этого с гамма-распределением связаны многие важные распределения в задачах математической статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распределённых случайных величин (например, распределение Стьюдента, F-распределение и z-распределение Фишера). Если ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ независимы и распределены с плотностями ${\displaystyle g_{\lambda _{1}}}$ и ${\displaystyle g_{\lambda _{2}}}$, то случайная величина ${\displaystyle X_{1}/(X_{1}+X_{2})}$ имеет плотность

${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lambda _{1}+\lambda _{2})}{\Gamma (\lambda _{1})\Gamma (\lambda _{2})}}x^{\lambda _{1}-1}(1-x)^{\lambda _{2}-1},\quad 0<x<1}$,

которая называется плотностью бета-pаспределения. Плотности линейных функций ${\displaystyle aX+b}$ от случайных величин ${\displaystyle X}$, подчиняющихся гамма-распределению, составляют специальный класс распределений – т. н. «тип III» семейства распределений Пирсона. Плотность гамма-распределения является весовой функцией системы ортогональных многочленов Лагерра. Значения функции гамма-распределения можно вычислить по таблицам неполной гамма-функции (Пагурова. 1963^[1]).