Многочлены Лагерра

Многочле́ны Лаге́рра (многочлены Чебышёва – Лагерра), многочлены, ортогональные на интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$ с весовой функцией${\displaystyle h(x)=x^{\alpha }e^{-x}}$, где ${\displaystyle \alpha >-1}$. Многочлены Лагерра определяются формулой

${\displaystyle \displaystyle L_{n}=(x;\alpha )=(-1)^{n}{\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{\alpha +n}t^{-x}),{\text{ }}n=0,{\text{ }}1,{\text{ }}2,{\text{ }}\dots }$

При ${\displaystyle \alpha =0}$ многочлены Лагерра впервые встречаются у Ж. Лагранжа (1788). Начало систематическому изучению этих многочленов положил П. Л. ЧебышёвЧебышёв Пафнутий Львович(1859), первая работа Э. Лагерра относится к 1879 г. При ${\displaystyle \alpha >-1}$ многочлены рассматривал Ю. В. Сохоцкий (1873).

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывно дифференцируема на интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$, интегрируема на этом интервале с весом ${\displaystyle h(x)=x^{\alpha }e^{-x}}$, то при некоторых дополнительных условиях эта функция разлагается в ряд Фурье по многочленам Лагерра, то есть

${\displaystyle \displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(\alpha )L_{n}(x;\alpha ),x\in (0,\infty ),}$

где коэффициенты Фурье – Лагерра определяются формулой

${\displaystyle \displaystyle a_{n}(\alpha )={\frac {n!}{\Gamma (n+a+1)}}\int \limits _{n=0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}f(x)L_{n}(x;\alpha )dx,{\text{ }}n=0,{\text{ }}1,{\text{ }}2,\dots }$

Многочлены Лагерра применяются в вычислительной математике и математической физике.